容斥 组合计数

双射

单射 ：不存在A中有两个元素 和 B 中同一个元素对应
满射 ：B中每一个元素都在A中有对应的元素
单射 + 满射 = 双射
双射一定满足$|A|\!=\!|B|$

Lucas定理

$Lucas$定理是用来求$c(n,m) mod\,p$的值.$($p是素数$)$
表达式如下：
$C(n,m)\%p=C(n/p,m/p)*C(n\%p,m\%p)\%p$
可递归实现，时间复杂度：$O(plog_p(n))$,大致可认为是$O(plogn)$

容斥的扩展公式

有集合 $S_1... S_n$ 求 $\bigcup_{i=1}^nS_i$
$\bigcup_{i=1}^nS_i \!= \sum_{T\in S}|\bigcap_{i\in T}S_i|*(-1)^{|T|-1}$
小练习
$n$个整数变量$x_i$满足$0\!\leq\!x_i\!\leq\! c_i$
求$x$的和等于$m$的方案数

$n*m\!\leq\!10^6$
$n\!\leq\!20,m\!\leq\!10^9$

Min_Max容斥

有时$max$的期望非常不好算，但是$min$的期望很好算，那么就可以把求$max$的期望转化成求$min$的期望
$max(a,b)=a+b-min(a,b)$
$max(S)=\sum_{r\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$
同样的 $E(max(S))=E(\sum_{r\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T))$

小练习
有$n$种卡片，每一秒都有$p_i$的概率获得第i种卡片，求每张卡片都至少有一张的期望时间
$n\leq20$

第一类斯特林数

$s(n,k)$表示把$n$个数的排列中有$k$个环的方案数

递推
考虑第$n$个数放在了哪里
$1.$自己成为一个环，方案为$s(n−1,k−1)$
$2.$插入之前的环中，那么一共有$n-1$的位置，所以方案为$s(n−1,k)\!\cdot\!k$
综上
$s(n,k)\!=\!s(n-1,k-1)\!+\!(n-1)\!\cdot\! s(n-1,k)$

小练习
求$n$个人分配到$k$个圆桌上，圆桌旋转相等的方案数，即只关心每个人左边的人是谁
$n,k\!\leq\!1000$
$s(n,k)=\sum_{i=0}^ns(n-i,k-1)\cdot\frac{(n-1)!}{(n-i)!}\\ \frac{1}{(n-1)!}\cdot s(n,k)=\sum_{i=0}^n s(n-i,k-1)\cdot\frac{1}{(n-i)!}$
$使f(n,k)=\sum_{i=0}^n\frac{s(i,k)}{i!}\\ 那么\frac{1}{(n-1)!}s(n,k)\!=\!f(n-1,k-1)\\ 更新f(n,k)\!=\!f(n-1,k)+\frac{s(n,k)}{n!}$

第二类斯特林数

设$S(n,m)$表示把$n$个不同的球放到$m$个相同的盒子里，且不允许盒子为空的方案数
称$S$为第二类斯特灵数

递推：
考虑第$n$个球放到了哪里
$1.$自己占一个盒子，方案为$S(n−1,m−1)$
$2.$和之前的元素共占$m$个盒子，方案为$S(n−1,m)\!\cdot\!m$，最后的系数是考虑放在不同位置。
这里我们认为$\{1\}\{2 4\}\{3\}$与$\{1\}\{2\}\{3 4\}$是不同的方案
而$\{1\}\{2 4\}\{3\}$与$\{1\}\{3\}\{2 4\}$是相同的方案
综上
$S(n,m)\!=\!S(n−1,m−1)\!+\!S(n−1,m)\!\cdot\!m$
$边界条件S(0,0)\!=\!1$

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容斥
$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum^m_{k=0}(−1)^k\cdot C(m,k)\cdot(m−k)^n$
也比较好理解，我们去枚举一个空盒子的个数
答案 = 无视空盒子放的方案 - 至少有一个盒子为空的方案 + 至少有两个盒子为空的方案 + …
这个式子可以用$FFT$优化，因此我们可以在$O(nlogn)$的复杂度内得到一行的斯特林数

小练习
$Bell Numbers$ - $CF568B$
求$n$个数分成若干个集合的方案数
$B(n)=\sum_{i=1}^{n}S(n,i)$

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欧拉数

$n$个数的排列字其中有$k$个数满足$p_i<p_{i+1}$的排列个数
递推求解
$E(n,k)=(k+1)\!\cdot\!E(n-1,k)\!+\!(n-k)\!\cdot\!E(n-1,k-1)$

数位dp

数位$dp$是计数类$dp$的一种，其基本问题为求一段区间内满足特定限制的数的个数。
其思路是在数位上进行$dp$，通常在十进制或二进制上进行。
在$dp$时可能需要记录：当前在第几位，上一个数字是什么，和题目有关的一些信息，当前位是否和限制相等等。
注意：
如果是多个整数，可能需要记录进位，借位等
注意前导零的问题$($这玩意细节很多$)$
小练习
$1.$给定一个区间$[l,r]$,问$l$到$r$的整数中有几个转换成二进制数后$0$比$1$多$($不计前导零$)$ $(POJ3252)$
$1\!\leq\!l\!<\!r\!\leq\!2\!\cdot\!10^9$

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$2.$求$l$到$r$之间且能被它的十进制表示的每个数字整除的数的个数。
如$24$是满足条件的，因为$24$是$2$和$4$的倍数。$(CF 55D)($时限:$4s$$)$
$1\!\leq\!l\!<\!r\!\leq\!9\!\cdot\!10^{18}$
提示：$2520\!=\!lcm(1,2,3...9)$,所以根据一个数对$2520$取模后的值可以判断这个数是否整除$1...9$中的数

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$3.$有一个物品重量为$w$，现在你有$1,2,4,...,2^n$重量的砝码各一个，问有多少种方法可以使天平平衡，$w$以二进制给出。$(POJ3971)$
$n\!\leq\!1000000,w\!\leq\!2^n$
思考后，题意就是让我们找一个$x$和$y$，使得$w\!+\!x\!=\!y,x\&y\!=\!0$