[統計學筆記] 統計學計算題選講（精華）

統計學計算題選講

第 1 題

某班級學生物理課程考試成績分別爲:

68 89 88 84 86 87 75 73 72 68

75 82 97 58 81 54 79 76 95 76

71 60 90 65 76 72 76 85 89 92

64 57 83 81 78 77 72 61 70 81

評分等級規定：60分以下爲不及格；60─70分爲及格；70─80分爲中；80─90分爲良,90─100分爲優。

要求：

（1）將參加考試的學生按考試成績分爲不及格、及格、中、良、優五組並編制一張考覈成績次數分配表；

（2）指出分組標誌及類型及採用的分組方法；

（3）計算學生物理課程考覈平均成績

（4）根據整理之後的統計變量序列，以95.45%的概率保證程度推斷全體學生考試成績的區間範圍。

（5）若其它條件不變，將允許誤差範圍縮小一半，應抽取多少名學生的成績？

解答：

首先，通過對學生物理課程考試的40個成績進行分組統計，如下：

成績	學生人數	頻率（%）
60分以下	3	7.5
60-70分	6	15
70-80分	15	37.5
80-90分	12	30
90-100分	4	10
合計	40	100

對上面的表格進行變形，並進行計算：

成績	組中值 $\large x$	學生人數 $\large f$	頻率（%） $\large f/\sum f$	$\large \left ( x-\overline{x} \right )^{2}\times f$
60分以下	55	3	7.5	$\large \left ( 55-77.0 \right )^{2}\times 3= 1452$
60-70分	65	6	15	864
70-80分	75	15	37.5	60
80-90分	85	12	30	768
90-100分	95	4	10	1296
合計		40	100	4440

根據上表： $\large \sum f = 40$

根據計算公式：

$\large \overline{x} = \sum x \tfrac{f}{\sum f}$

從而得： $\large \overline{x}$ = 55×7.5%+65×15%+75×37.5%+85×30%+95×10% = 77.0

即學生物理課程考試成績的平均值爲：77.0分。

根據公式：

$\large \sigma = \sqrt{\sum \left ( x-\overline{x} \right )^{2}\times f/\sum f}$

從而得到： $\large \sigma = \sqrt{\frac{4440}{40}}= 10.54$

即該班級學生物理課程考試成績的標準差爲（ $\large \sigma = 10.54$ ）

進而， $\large \mu _{x} = \farc{\sigma }{\sqrt{n}}= 10.54 / \sqrt{40} = 1.67$

$\large \Delta _{x}= t\mu _x = 2\times 1.67 = 3.34$

全體學生考試成績區間範圍是：

下限 = $\large \overline{x} - \Delta _{x} = 77 - 3.34 = 73.66$

上限 = $\large \overline{x} + \Delta _{x} = 77 + 3.34 = 80.30$

即全體學生考生成績區間範圍在 73.66 —— 80.30 分之間。

如果將允許的誤差範圍縮小一半，則應抽取的學生人數爲：

$\large n= \frac{t^{2}\sigma}{\Delta {x}^{2} } = \frac{2^{2} \times 10.54^{2}} {\left ( \frac{3.34}{2} \right )^{2}} \approx 159$

解答完畢。

第 2 題

有兩個班級參加統計學考試，甲板的平均分數爲75分，標準差11.5分；乙班的考試成績資料如下：

按成績分組（分）	學生人數（人）
60分以下	2
60-70分	5
70-80分	8
80-90分	6
90-100分	4
合計	25

要求：（1）計算乙班的平均分數和標準差；（2）比較哪個班級的平均分數更有代表性？

解答：

要計算乙班的平均分數，需要對上表進行一些簡單的變形計算：

按成績分組（分）	組中值（分） $\large \overline{x}$	學生人數（人） $\large f$	$\large \sum xf$
60分以下	55	2	110
60-70分	65	5	325
70-80分	75	8	600
80-90分	85	6	510
90-100分	95	4	380
合計		$\large \sum f = 25$	1925

乙班的平均成績爲：

$\large \overline{x} = \sum xf / \sum f = 1925 / 25 = 77.0$

根據公式：

$\large \sigma = \sqrt{\sum \left ( x-\overline{x} \right )^{2}\times f/\sum f}$

則： $\large \sigma = \sqrt{\frac{3400}{25}}= 11.66$

計算變異係數：

甲班： $\large \upsilon _{1} = \frac{\sigma }{\overline{x}} = 11.5 / 75 = 15.33$

乙班： $\large \upsilon _{2} = \frac{\sigma }{\overline{x}} = 11.66 / 77 = 15.14$

因爲甲班級的標準差係數大於乙班級的標準差係數，所以乙班級的平均成績更具有代表性。

第 3 題

某鋼鐵廠生產某種鋼管，現從該廠某月生產的500根產品中抽取一個容量爲100根的樣本。已知一級品率爲60%，試求樣本一級品率的抽樣平均誤差。

求解：

由題意可知：一級品率爲60%，即 p=60%；從500根產品中抽取一個容量爲100根的樣本，則： $\large N=500$ ， $\large n=100$ ，

解答完畢。

第 4 題

某工廠生產的零件長度服從正態分佈，從該工廠生產的零件中隨機抽取25件，測得它們的平均長度爲30.2釐米。已知總體標準差 $\large \sigma = 0.45$ 釐米。
求：（1）計算抽樣平均誤差和抽樣允許誤差。（2）估計零件平均長度的可能範圍（ $\large \alpha = 0.05$ ）。

解答：

由題意可知 $\large X$ ~ $\large N\left ( \mu , 0.45^{2} \right )$ ， $\large \overline{X}=30.2$ ， $\large n=25$ ， $\large 1-\alpha =0.95$

（1）抽樣平均誤差爲： $\large \sigma \left ( \overline{x} \right ) = \frac{\sigma }{\sqrt{n}} = \frac{0.45}{\sqrt{25}} = 0.09$ ，查標準正態分佈表可知在 $\large \alpha =0.05$ 時， $\large z_{\alpha /2} = 1.96$ ，

所以抽樣允許誤差爲： $\large \Delta _{\overline{x}} = z_{\alpha /2}\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}} = 1.96\times 0.09 = 0.1764$

（2）總體均值的置信區間爲：

$\large \left ( \overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}, \overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right ) = \left ( \overline{X}-\Delta _{\overline{X}},\overline{X}+\Delta _{\overline{X}} \right )$

即 $\large \left ( 30.2-0.1764,30.2+0.1764 \right ) =\left ( 30.02,30.38 \right )$

即我們可以以95%的概率保證該廠零件平均長度在30.02釐米到30.38釐米之間。

解答完畢。

第 5 題

從某市高中生中按不重複抽樣方法隨機抽取25名調查每週收看電視的時間，分組資料見表：

要求：（1）計算抽樣平均誤差和抽樣允許誤差；（2）估計該市全體高中生每週平均看電視時間的置信區間（給定的顯著性水平爲0.05）。

解答：根據題目意思首先將上表做一個簡單的處理，

每週看電視時間（小時）	組中值 $\large x$	學生人數（人） $\large f$	$\large \left ( x-\overline{x} \right ) ^{2}\times f$
2以下	1	2	32
2 ~ 4	3	6	24
4 ~ 6	5	8	0
6 ~ 8	7	8	32
8 ~ 10	9	1	16
合計		$\large \sum f=25$	104

學生看電視的平均值爲： $\large \overline{x} = \frac{1\times 2+3 \times 6 + 5 \times 8 + 7 \times 8 + 9 \times 1}{25} = 5$ 小時，

樣本方差爲： $\large \sigma ^{2}= 104/\left ( 25-1 \right )=4.33$

查 $\large t$ 分佈表知 $\large \alpha =0.05$ 時，臨界值 $\large t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right ) = t_{\alpha /2}\left ( 25-1 \right ) = 2.0639$

因此：

抽樣平均誤差爲： $\large \sigma \left ( \overline{X} \right ) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{4.33}}{\sqrt{25}} = 0.416$

抽樣允許誤差爲： $\large \Delta _{\overline{X}} = t_{\alpha /2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.0639 \times 0.416 = 0.859$

總體均值置信度爲95%的置信區間爲： $\large \left ( \overline{X}-\Delta _{\overline{X}},\overline{X}+\Delta _{\overline{X}} \right )$ ，即 $\large \left ( 5-0.859,5+0.859 \right ) = \left ( 4.14,5.86 \right )$

即我們可以以95%的把握保證該市高中生每週平均看電視時間在4.14到5.86小時之間。

解答完畢。

第 6 題

某工廠對一批產成品按不重複抽樣方法隨機抽選200件進行質量檢測，其中一等品160件，試以90%的概率估計一等品率的範圍。

解答：

由題意已知：p = 160/200 = 80%； 1-α = 90% ；n=200；

查表知： $\large z_{\alpha /2} = 1.645$ ，計算得樣本比例的抽樣平均誤差爲：

$\large \sigma \left ( p \right ) = \sqrt{\frac{p\times \left ( 1-p \right )}{n}} = \sqrt{\frac{0.8\times \left ( 1-0.8 \right )}{200}} = 0.0283$

抽樣極限誤差爲： $\large \Delta _{p} = z_{\alpha /2}\times \sigma \left ( p \right ) = 1.645 \times 0.0283 = 0.04655$ ，即 4.655%

所以，該批產品的一等品比例的置信區間爲：80%-4.655% ~ 80%+4.655%，即 75.35% ~ 84.66% 之間。

解答完畢。

第 7 題

從某班學生中隨機抽取16人，計算得語文平均成績爲75分，方差爲25分。假定學生成績服從正態分佈，試求總體方差及標準差的置信區間（給定的顯著性水平爲0.05）。

解答：

有題目已知： $\large n=25$ ， $\large \alpha =0.05$ ，查 $\large \chi ^{2}$ 分佈表確定兩個臨界值：

$\large \chi_{1-\alpha /2}^{2} \left ( n-1 \right )= \chi _{0.975}^{2}\left ( 16-1 \right ) = 6.262$ ， $\large \chi_{\alpha /2}^{2} \left ( n-1 \right )= \chi _{0.025}^{2}\left ( 16-1 \right ) = 27.488$

將臨界值數字帶入公式中，總體方差和標準差的置信度爲 $\large 1-\alpha$ 的置信區間分別爲：

$\large \left (\frac{\left ( 16-1 \right ) \times 25}{27.488}, \frac{\left ( 16-1 \right ) \times 25}{6.262} \right )$ ，即 $\large \left ( 13.64,59.89 \right )$

$\large \left ( \sqrt{13.64},\sqrt{59.89} \right ) = \left ( 3.69,7.74 \right )$

解答完畢。

第 8 題

1、某快餐店某天隨機抽取49名顧客對其的平均花費進行抽樣調查。調查結果爲：平均花費8.6元，標準差2.8 元。試以95.45％的置信度估計：
（1）該快餐店顧客總體平均花費的置信區間及這天營業額的置信區間（假定當天顧客有2000人）；
（2）若其他條件不變，要將置信度提高到99.73％，至少應該抽取多少顧客進行調查？

（提示： $\large z{_{0.0455}} = 1.69$ ， $\large z{_{0.0455/2}} = 2$ ， $\large z{_{0.0027/2}} = 3$ ， $\large z{_{0.0027}} = 2.78$ ）

解答：

由題意值 $\large \overline{x} = 8.6$ ，標準差： $\large \sigma = 2.8$ ， $\large n=49$ ，

則： $\large \mu _{\overline{x}} = \frac{\sigma }{\sqrt{n}} = 2.8 / \sqrt{49} = 0.4$

由於以95.45%的置信度估計，則 $\large 1-0.9545 = 0.0455$

$\large \Delta _{x} = z_{\alpha /2}\times \mu _{\overline{x}} = z_{0.0455/2} \times 0.4 = 2\times 0.4 = 0.8$

總體均值的置信區間： $\large \left ( 8.6-0.8 , 8.6+0.8 \right )$ ，即 $\large \left ( 7.8, 9.4 \right )$

營業總額的置信區間： $\large \left ( 2000\times 7.8, 2000\times 9.4 \right )$ ，即 $\large \left ( 15600, 18800 \right )$

若其它條件不變，將置信度提高到 99.73%，至少應該抽取的顧客數量爲：

$\large 1- 0.9973 = 0.0027$

必要的樣本容量： $\large n = \frac{z_{\alpha /2 \times \sigma ^{2}}} {\Delta_{\overline{x}}^{2}} = \frac{3^{2} \times 2.8 ^{2}}{0.8^{2}} = 110.25 \approx 111$

解答完畢。

第 9 題

一所大學準備採取一項學生在宿舍上網收費的措施，爲了解男女學生對這一措施的看法，分別抽取了150名男學生和120名女學生進行調查，得到的結果如下：

	男學生	女學生	合計
贊成	45	42	87
反對	105	78	183
合計	150	120	270

請檢驗男女學生對上網收費的看法是否相同。已知：顯著性水平 $\large \alpha =0.05$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 1 \right )= 3.842$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 2 \right )= 5.992$ ， $\large \chi_{0.05}^{2} \left ( 4 \right )= 9.487$ 。