[統計學筆記] （十三）指數分析（1）

（十三）指數分析（1）

統計指數簡稱指數，有廣義和狹義之分。廣義地講，任何兩個數值對比形成的相對數都可以稱爲指數；狹義地講，爲了反映某一社會經濟現象而產生的兩組有關聯的數值對比形成的相對數稱爲指數。

指數分析法是利用指數體系分析各影響因素變動對總指數的影響方向和程度，以及各因素對總指標的影響數額的一種分析方法。

指數是反映複雜的社會現象受多種因素而變動的相對數，它能夠表明所研究社會現象量的方面在時間或空間上綜合變動的程度。通過對指數的分析，可以綜合說明覆雜的社會現象變動的一般趨勢和規律，分析各種構成因素影響的程度，並進而瞭解現象變動的具體原因。

指數分析法的要點是：

1、指數分析法所要研究的是受多種因素影響的複雜現象，這類現象的量表現爲若干因素的乘積，其中每個因素髮生變化都會使總量發生變動。指數分析法的目的在於測定各個因素影響的方向和程度。

2、指數分析法的基本特點是，假定其它因素數量上相同或不變，測定其中某一個因素影響的方向和程度。如果有三個因素，則假定其中兩個因素的數量相同或不變，測定另一個因素的影響。

3、指數體系是指數分析法的基本依據。從相對數方面說，若干因素指數的乘積應等於總指數;從絕對數方面說，若干因素影響差額的總和，也應等於實際發生的總差額。

指數分析法包括：總量指標的兩因素分析和多因素分析；平均指標的兩因素分析和多因素分析。

指數是測定多項內容數量總和變動的相對數。

這個概念中包含兩個要點：

1、指數的實質是測定多項內容。如，零售價格指數反映的是零售市場幾百萬種商品價格變化的整體狀況。

2、其表現形式爲動態相對數，既然是動態相對數，就涉及指標的基期對比，不同要素基期的選擇就成爲指數方法需要討論的問題。

編制指數的方法就是圍繞上述兩個問題展開的。

統計指數的性質

統計指數有下面的性質：

相對性——統計指數總體各變量在不同場合下對比形成的相對數，它可以度量一個變量在不同時間或不同空間的相對變化。

綜合性——綜合性說明指數是一種特殊的相對數，它是由一組變量或項目綜合對比形成的。沒有綜合性，指數就不能發展成爲一種獨立的理論和方法。

平均性——統計指數是總體水平的一個代表性指數。平均性的涵義有二：一是指數進行比較的綜合數量是作爲個別量的一個代表，這本身就具有平均性；二是兩個綜合量對比形成的指數反映了個別量的平均變動水平。

指數分類

統計指數按照不同的研究目的和要求，可以作如下各種分類：

1、個體指數和總指數

統計指數按所研究對象的範圍不同，可分爲個體指數和總指數。個體指數反映某種社會經濟現象個別事物變動的情況。如反映某一種商品物價變動的情況。總指數則綜合反映某種事物包括若干個別事物總的變動情況，如反映若干商品總的物價變動情況。有時爲了研究需要，在介於個體指數與總指數之間，還編制組指數(或類指數)。組指數的編制方法與總指數相同。

2、數量指標指數和質量指標指數

統計指數按所表示的特徵不同，可以分爲數量指標指數和質量指標指數。數量指標指數反映現象總體的規模和水平的變動狀況，如產量指數，職工人數指數等。質量指標指數則反映現象總體內涵質量的變動，如商品物價指數，勞動生產率指數等。

3、動態指數和靜態指數

統計指數按其本來的涵義，都是指動態指數。但在實際運用過程中，涵義漸漸推廣到了靜態事物和空間對比，因而產生了靜態指數。所謂靜態指數是指在同一時間條件下不同單位，不同地區間同一事物數量進行對比所形成的指數；或同一單位，同一地區計劃指標與實際指標進行對比所形成的指數。

4、定基指數和環比指數。

統計指數按在指數數列中所採用的基期不同，可以分爲定基指數和環比指數。定基指數指在數列中以某一固定時期的水平作對比基準的指數；環比指數則是以其前一時期的水平作爲對比基準的指數。

綜合指數

綜合指數的意義

綜合指數是總指數的一種表現形式。它是通過對兩個時期範圍相同的複雜現象總體同度量和加權計算的總量對比編制的總指數。

編制綜合指數，首先要解決好兩個問題：(1)正確選擇同度量因素(權數)；(2)選擇同度量因素的所屬時期。

所謂同度量因素是指在編制綜合指數時，可以把不能直接相加或對比的現象轉化爲可以相加或對比,在指數中起媒介作用的因素。例如，不同商品的單價,由於計量單位不同不能相加,如果都乘以銷售量得出銷售額就可以相加了。在這裏，銷售量對單價來說就是同度量因素。

選擇同度量因素時，要注意根據現象的內在的必然聯繫來選取，同時，要使之能正確反映不同現象變化的重要性，不把各現象的變化在總指數中的作用同等看待。例如，在價格綜合指數中，其所以選擇銷售量作同度量因素，一方面是價格與銷售量之間客觀存在着經濟聯繫；另一方面是用不同價格乘銷售量時，由於銷售量有多有少，可以使不同價格的變動在價格總指數中的重要性與影響能得到正確地反映。因此，正確計算綜合指數的關鍵在於正確選擇同度量因素。

編制綜合指數的另一個重要問題是選擇同度量因素固定的時期。如果不把同度量因素所屬時期固定，計算出來的綜合指數，就會包含有同度量因素變化的影響。這就是說不能反映影響現象的某一特定因素的影響程度。

我們按照常規分別以數量指標指數和質量指標指數來說明綜合指數的編制方法。

數量指標綜合指數

某企業三種產品的數量及價格資料

產品名稱	計量單位	產量		產品單價(元)
產品名稱	計量單位	基期 $q_{0}$	報期 $q_{1}$	基期 $p_{0}$	報期 $p_{1}$
甲	米	1000	1150	100	100
乙	件	2000	2200	50	55
丙	臺	3000	3150	20	25

現以某企業三種產品的資料爲例，說明數量指標綜合指數的編制方法。

用Ｋ代表個體指數。根據表中的資料計算的三種產品產量的個體指數爲：

$k_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}} = \frac{1150}{1000} = 1.15$ , 即 115%

$k_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}} = \frac{2200}{2000} = 1.10$ ，即 110%

$k_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}} = \frac{3150}{3000} = 1.05$ ，即 105%

三種產品的產量增長幅度不同，爲了說明三種產品產量總的增長程度，需要計算綜合指數。

由於同度量因素（價格）固定時期不同，綜合指數的計算形式也不相同。可以用 $\overline{k_{q}}$ 代表產量總指數則有：

（1）用基期價格作同度量因素，其計算公式爲（拉氏數量指數公式）：

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}}$

拉斯貝爾斯指數簡稱拉氏指數，是指用基期的銷售額作爲權數，對個體價格指數求加權算術平均數，得出個綜合價格指數公式；同時，用基期銷售額(或產值)對個體物量指數求加權算術平均數，得出一個與價格綜合指數相對應的綜合物量指數的方法。這兩個指數都是德國人拉斯貝爾斯於1864年提出的。

（2）用報告期價格作同度量因素，其計算公式爲（派氏數量指數公式）：

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{1}}$

以上公式是1874年由德國學者派許提出的，被稱爲派氏數量指數公式。

從理論上講，上述兩個公式均可成立，但爲了單純反映產品產量的變化程度，把價格固定在基期保持不變較好。如果用報告期價格作同度量因素，就會在反映產品產量變動的指數中包含有產量和價格共變因素的影響。從這個意義上講，編制數量指標綜合指數應將同度量因素固定在基期。

現根據上表資料，說明其計算（計算過程如下表）三種產品產量的綜合指數的結果。

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{28.8}{26}=1.1077$ ，即 110.77%

影響的絕對額： $\sum q_{1}p_{0} - \sum q_{0}p_{0} = 28.8-26 = 2.8$ （萬元）

指數計算表：

（單位：萬元）

產品	按基期價格計算		按報告期價格計算		產值變動
	基期產值	報告期產值	基期產值	報告期產值	產值變動
	$p_{0}q_{0}$	$p_{0}q_{1}$	$p_{1}q_{0}$	$p_{1}q_{1}$	$p_{1}q_{0}-p_{0}q_{0}$	$p_{1}q_{1}-p_{0}q_{1}$
甲	10	11.5	10	11.5	0	0
乙	10	11.0	11	12.1	1	1.1
丙	6	6.3	7.5	7.875	1.5	1.575
合計	26	28.8	28.5	31.475	2.5	2.675

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{0}p_{1}} = \frac{31.475}{28.5} = 1.1043$ ，即 110.43%

影響絕對額： $\sum q_{1}p_{1} - \sum q_{0}p_{1} = 31.475-28.5 = 2.975$ （萬元）

質量指標綜合指數

用Ｋ代表個體指數。根據上表資料計算的三種產品單價的個體指數爲：

$k_{p}=\frac{p_{1}}{p_{0}} = \frac{100}{100} = 1.00$ ，即 100%

$k_{p}=\frac{p_{1}}{p_{0}} = \frac{55}{50} = 1.10$ ，即 110%

$k_{p}=\frac{p_{1}}{p_{0}} = \frac{25}{20} = 1.25$ ，即 125%

由上述兩個表的資料可以看出，三種產品的計量單位不同，三種產品的單價也不能直接相加，爲了綜合反映三種產品價格的總變動，可以用產品產量作爲同度量因素，編制價格綜合指數。

具體操作上，與計算產品物量指數類似，計算價格綜合指數時，也需要把作爲同度量因素的產品產量所屬時間固定。同樣有拉氏與派式兩種指數公式可供使用。可以用 $\overline{k_{p}}$ 代表價格總指數，則有：

（1）用基期產量爲同度量因素，得出拉氏價格指數公式爲：

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum q_{0}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}}$ （公式3）

（2）用報告期產量爲同度量因素，得出派式價格指數公式爲：

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{1}p_{0}}$ （公式4）

同樣，上述兩個公式均可成立，但爲了單純反映產品價格的變化程度，把產品產量固定在基期保持不變較好。如果用報告期產量作同度量因素，就會在反映價格變動的指數中包含有產量和價格共變因素的影響。從這個意義上講，編制質量指標綜合指數應將同度量因素固定在基期。

利用上面例子中的指數計算表的資料，用(公式3)和(公式4)式計算三種產品的價格綜合指數爲：

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum q_{0}p_{1}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{28.5}{26} = 1.0961$ ，即 109.61%

影響絕對額： $\sum q_{0}p_{1}-\sum q_{0}p_{0}=28.5-26=2.5$ （萬元）

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum q_{1}p_{0}} = \frac{31.475}{28.8} = 1.0929$ ，即 109.29%

影響絕對額： $\sum q_{1}p_{1}-\sum q_{1}p_{0}=31.475-28.8=2.675$ （萬元）

編制綜合指數應該明確的幾個問題

（1）綜合指數包含着兩類因素：一類叫指數化因素，即通過指數要觀察其變動的因素；另一類叫同度量因素。在狹義指數中，指數化因素只能有一個，而同度量因素可以是一個或多個。

（2）綜合指數不論分子分母，其總量都是由有關的數量指標與質量指標的乘積所構成。因此，在只包含兩個因素的綜合指數中，一個是數量指標，另一個必然是質量指標，於是：數量指標指數化必然要以質量指標爲同度量因素；而質量指標指數化必然要以數量指標爲同度量因素。

（3）在綜合指數的編制中，採用的是一種科學假定的分析方法，即在觀察某個現象變動時，假定其他現象不變。因此，爲了使這種假定科學、合理，就需要結合指數的目的、意義選擇同度量因素固定的時期。按現行統計制度規定的編制綜合指數的一般原則是：

    1）在編制數量指標指數時，應以基期的質量指標作爲同度量因素；

    2）在編制質量指標指數時，應以報告期的數量指標作爲同度量因素。

    採取上述原則的基本意義在於保持指數分析的數學意義上的完整。

（4）綜合指數需要根據全面資料編制，必須有兩個時期範圍相同的相互對應的資料才能計算。

平均指數

平均指數是編制總指數的另一種重要形式。它是以個體指數爲基礎，通過對個體指數進行平均計算的一種總指數。考慮平均時是否加權,我們分別討論簡單平均指數和加權平均指數。

1. 簡單平均指數

主要形式有：

（1）簡單綜合指數。這是直接綜合各研究對象的報告期與基期的數值進行對比而形成的指數,計算形式爲：

數量指數	$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}}{\sum q_{0}}$
質量指數	$\overline{k_{p}} = \frac{\sum p_{1}}{\sum p_{0}}$

（2）簡單算術平均指數。這是直接以各個體指數求簡單算術平均而形成的指數,計算形式爲：

數量指數	$\overline{k_{q}} = \frac{\sum \frac{q_{1}}{q_{0}}}{n}$
質量指數	$\overline{k_{p}} = \frac{\sum \frac{p_{1}}{p_{0}}}{n}$

（3）簡單調和平均指數。這是直接對各個體指數求簡單調和平均而形成的指數,計算形式爲:

數量指數	$\overline{k_{q}} =\frac{n}{\sum \frac{1}{k{_{q}}}}$
質量指數	$\overline{k_{p}} =\frac{n}{\sum \frac{1}{k{_{p}}}}$

（4）簡單幾何平均指數。這是直接對各個體指數求簡單幾何平均而形成的指數,計算形式爲：

數量指數	$\overline{k_{q}} =\sqrt[n]{\prod \frac{q_{1}}{q_{0}}}$
質量指數	$\overline{k_{p}} =\sqrt[n]{\prod \frac{p_{1}}{p_{0}}}$

這幾種簡單指數中,相對而言更具適用價值的是幾何平均指數。

2、加權平均指數

其基本形式有兩種：一是加權算術平均指數；二是加權調和平均指數。

（1）加權算術平均指數

在計算各種指標的總指數時，有時,我們需要利用加權算術平均指數進行計算。如我們在推算報告期某現象可能達到的狀態時，可以依據基期的價值量指標和預計的各現象的變動程度進行計算。其基本計算公式爲：

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum kq_{0}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}}$

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum kq_{0}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}}$

式中：Ｋ—分別代表個體數量指數和個體質量指數

上述公式與我們前面討論的加權算術平均數形式一樣，因而被稱爲加權算術平均指數。如果原始資料相同，計算的結果和綜合指數公式相同，所反映的現象的具體內容也相同。

我們仍以上面的例子作計算說明。

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum kq_{0}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{1.15\times 10+1.1\times 10+1.05\times 6}{10+10+6} = 1.1077$ ，即 110.77%

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum kq_{0}p_{0}}{\sum q_{0}p_{0}} = \frac{{}1.00\times 10+1.10\times 10+1.25\times 6}{10+10+6} = 1.0961$ ，即 109.61%

計算結果與上述公式計算結果完全相同。

（2）加權調和平均指數

有時，總指數需要按加權調和平均指數形式計算。其基本計算公式爲：

$\overline{k_{q}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum \frac{1}{k}q_{1}p_{1}} = \frac{11.5+12.1+7.875}{\frac{11.5}{1.15}+\frac{12.1}{1.10}+\frac{7.875}{1.05}} = 1.1043$ ，即 110.43%

$\overline{k_{p}} = \frac{\sum q_{1}p_{1}}{\sum \frac{1}{k}q_{1}p_{1}}=\frac{11.5+12.1+7.875}{\frac{11.5}{1.00}+\frac{12.1}{1.10}+\frac{7.875}{1.25}} = 1.0929$ ，即 109.29%

（3）平均數指數的特點

與綜合指數相比較，平均數指數具有以下特點：

1）二者的計算程序不同，他不像綜合指數那樣，先綜合後對比，而是先對比計算出個體指數，然後再綜合平均。

2）綜合指數適用於根據全面資料編制，而平均數指數既可以用全面資料編制,也可以用非全面資料編制，即只需要對少數有代表性的個體指數加權平均即可，所需資料比較少，因此，它比綜合指數更具有現實應用意義。

3）綜合指數一般要用實際資料作同度量因素，而平均數指數不僅可以用實際資料爲權數，而且可以用固定權數計算，這就爲指數的計算提供了便利條件,從而可以保證指數計算結果的及時性。

[統計學筆記] （十三）指數分析（2）

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[統計學筆記] （十三）指數分析（1）

（十三）指數分析（1）

統計指數的性質

指數分類

綜合指數

平均指數

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