首发于知乎：【强化学习1.0】导论 & 多臂赌博机问题（multi-armed bandit）
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导论：何为强化学习？
强化学习（Reinforcement Learning，下面简称RL）研究的是在交互中学习的方式。通俗来说，就是“做什么能让我们最终的收益最大化”。最常举例的一个场景就是游戏，比如下棋。对于每一步都没有标准答案可供学习，但是最终的收益是固定的，比如胜一场1分、平0分、负一场-1分。因此，一个训练有素的智能体（agent）应该能够总结经验，从而在每一步骤都向着最终取胜而行动。这就是强化学习的基本目标。
强化学习和我们所了解的有监督（Supervised）和无监督（Unsupervised）学习方法都不同。有监督的方法有标准答案（标注），而强化学习则没有一个确切的标注，只能通过环境的反馈和不断的试错来学习。
比如说，对于一个object detection来说，每个object class都有很多已经被框好的图像，因此经过训练后，model就可以识别出这个class。但是对于RL来说，我们无法对每个情境下给出一个最优的和代表性的动作予以学习。比如说，仍以下棋为例，我们并不会告诉agent在某个棋局情况下，某一步是最好的。虽然没有这种标注，但是有最终的收益（胜负）可以供agent进行总结和学习。
但是，又不能说RL是一种无监督学习，为什么？因为所谓的无监督学习，实际上是找到数据的某种隐含结构。比如，k-means试图找到所有的数据中有哪几种具有特征相似性的类别（cluster）。而对于RL来说，我们的目的并非如此，RL的目的不是对数据进行分析，找出代表性的结构，而是找到一种方式，最大化某个收益。因此，RL是有监督和无监督之外的一种新型的领域。
强化学习的重要特点有两个：1. 与不确定环境交互。2. 目标导向。这两点在RL中被作为一个整体进行考虑，即在于环境交互的过程中，达到最终的目标。
RL之所以被很多人看好，一个很直接的原因就是，这种方式像极了我们人类的智力发展以及日常做决策的过程。强化学习擅长处理的问题是各类“游戏”，其实，我们日常生活中遇到的很多问题都可以视为某种“游戏”。比如，股票投资，在何时买入、何时抛出、买入多少？这个任务可以看做是一种游戏，即我们需要对当前股票情况做判断，给出行动（action），然后环境变化，重新进行决策，再继续行动……最终衡量我们游戏的成功或者失败的，就是最终的盈亏。如果大赚一笔，自然需要总结经验，如果被割了韭菜，则需要总结教训。推而广之，生活中的各类事情，莫不如此，因此强化学习自然具有很广泛的应用价值。
强化学习的要素有：
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策略（Policy）
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收益信号（Reward Signal）
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价值函数（Value Function）
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模型（Model） （这个可以没有）
下面对上面这几个依次解释。
首先，所谓策略policy，指的是在某个场景下，agent要采取什么样的对策或行为。所以，policy决定了智能体的实际的动作，因此是RL的核心。策略比较优秀的agent能够获得更好的结果，而策略不够好的，则最终结果也不好。
policy类似于心理学中的“刺激-反应”的规则，因此，它本质上是从环境这个变量到动作这个变量的一个映射。即 s → a，s是state，即当前状态，a是action，即采取的行动。
还是拿一个真正的智能体举例。如果我们的agent是一只兔子，环境变量如果是 {有萝卜} ，那么兔子的行为就是 {停下来吃}，而如果环境变量变成了 {有猎枪}，那么兔子的行为相应的应该为 {逃跑}。这是一个最简单的映射，即一个lookup table就可以表示。基于这样的策略，兔子可以获得最终的比较好的收益，就是活命和成长。反之，如果策略不对，当遇到萝卜逃跑，遇到猎枪停下来，那么就会得到不好的收益，即被打死或者被饿死。因此，policy是一个agent的核心，决定了agent的性能。
接下来是收益信号 reward。收益信号指的是，在状态s下，采取了某个action后，agent获得的一个激励信号。收益信号表示的是在短时间内什么是更好的，什么是不好的。注意，这里说的是短时间内。虽然短时间的收益可以辅助我们判断action好不好，但是，我们最终的目的不是当前的收益最好，而是长远来看的总收益最高。
继续举例：我们都听说过一个实验，即延迟满足实验。对于一个小孩，发给他一颗糖，如果他吃掉，就只有这一颗，而如果等15分钟再吃，就可以再得到一颗。这里，当得到一颗糖后就吃掉，当前的收益（即快乐的感觉）增加了，但是这样也就使得最终总体的收益变少（只有+1），而如果action为不吃，那么最终的收益就是+2。通过这个例子，我们可以看出短期收益和长期收益的区别。因此，我们不能只看reward，而是还要有一种方法来评估最终的长远收益。这个评估指标就是 价值函数 value function。
价值函数 value function 在强化学习中只一个重要的概念。它表示的是对某个状态s的长远收益的评估。比如前面的例子。对于 {吃糖果} 这个action后的状态 {不再有新糖果}，其value就是 0，而对于{不吃糖果} 后转移到的状态 {20min后还有糖果}，其value就是+2（不考虑时间折扣的话）。价值函数是状态的函数，记做 V(s) 。它是从当前状态开始，往后继续进行下去，将来积累的所有reward的一个期望。因此，value function和reward是有联系的。所谓长远收益，其实也就是对在该状态所有可能的未来（采取不同action，转移到不同state）的reward的总和的期望。
多臂赌博机问题（multi-armed bandit）
多臂赌博机是一个经典的问题。通常用来作为RL的入门级demo。所谓的k-armed bandit指的是这样一个任务：在你面前有一个类似老虎机的k个手柄的游戏机，每次选择并拉一个手柄，就会得到一个数值（可能是奖金金额），这个金额是一个随机数，它的分布对于每个手柄都是不同的，而你的任务就是在某段时间内获得尽可能多的奖金。
一开始，我们对这个机器那个arm上的钱更多是没有任何了解的。但是，我们仍然有办法处理这个问题。那就是有策略的去试探，收集一些实验结果，并用已经有的结果推测哪个更好，然后继续实验。这个很容易理解，通过一定次数的实验，我们可以获得一定的样本，从而对每个arm的分值分布有一个推测，然后，利用这些已知的经验，去改变我们的选择arm的策略，以求最终达到最优。
下面我们用数学的方法来说明这个问题。
首先，我们要明确这个任务的目标是神马。先看下面这个公式：
这里，a代表action，即选择一个bandit，q star (a) 这个函数，一看带了star，就知道这是一个optimal最优值。那么这个最优值是怎么定义的呢？这个值表示在给定了t step时的动作a时，Rt，即t时刻的reward的数学期望。虽然里面有数学期望E，有At有Rt这些乱七八糟的符号，但其实本质上，这个公式告诉我们，我们要找到action，就是能在t时刻给我们带来最多的奖金的那个bandit。
如果每个动作的value我们都知道，那么自然可以直接选择value最高的。但是我们前面说了，首先，value是不知道的，其次，value不是一个固定的数值，而是一个分布（假如是固定数值，那我们将k个bandit都试一遍，然后一直拉那个奖金最多的杆子就行了，也没有这么复杂的问题）。这时候要怎么办呢？
这种情况就要求我们通过一定的trial来得到一组数据，以此作为经验，来估计每个动作的价值。一种最简单的方法就是，在t step之前，我们统计执行某个动作a的次数，以及执行动作a所获得的reward R 的总和，然后一平均，就知道每个动作的收益的均值了。这个也很朴素和直观，写成公式的形式，就是这样的：
根据统计学的原理，只要次数多，这么做肯定就能收敛到上面的最优的q star。这个方法被称为 采样平均方法（sample-average）。这是一种动作-价值估计方法，action-value。因为这个问题还不涉及state，即当前状态的影响。每个步骤都是独立的，这一次拉第i个bandit得到的奖励不会因为之前的动作有所变化，仍然是从第i个分布里随机取值。
现在我们有了value的估值，下一步就是利用每个bandit的value来选择如何操作。
最简单的就是所谓的贪心法（greedy），即我们每次都选那个价值最高的。也就是：
但是这种情况有个问题，因为我们说了，a只是在当前统计意义上，或者说在期望层面上是回报最大的，但是有没有可能在某个情况下，其他的action会有更好的效果呢？这个是有可能的。因此，我们采用一种叫做 epsilon-greedy的方法，来进行动作选择。
在epsilon-greedy中，我们在每个action的时候，都以epsilon（epsilon<1）的概率随机选择一个action，而1-epsilon的概率仍然是用greedy的方法，选择最高value的那个action。我们看下面这个情况，就能明白了。
这里是一个10-armed bandit，可以看出每个bandit上的取值都是一个标准正态分布。由于我们对于期望的计算是通过已经发生的action-value数据来计算的，因此在刚开始的时候，由于样本量少，肯定有不准确的情况，也就是说，当前的value最大的，不一定就是真正value最大的那个，有可能是个次优的。而通过epsilon的概率去随机选择， 可以缓和这一情况。这里，我们将利用最优解的greedy的做法叫做exploitation，而随机选择的方法叫做exploitation。
这里就有一个问题了，那么什么情况下我们需要更多的exploitation，而什么情况下需要更多exploitation？我们设想，如果reward的方差比较大，或者有噪声、非平稳等等情况下，由于要找到最优解更加困难，所以需要多次exploration，即探索。反之，如果reward分布比较稳定，且方差较小，就更应该偏重exploitation。举个极端的例子，如果方差为0，那么一次遍历就搞定了，然后不停取最大的reward即可。这是上面说到过的。
还有一个重要的点，叫做增量式实现。如下：
这里，R代表每次的reward，由于Q就是一个均值，所以，n+1时刻的Qn+1，可以用Qn和新进来的Rn进行计算。这个推导其实很简单。为啥要这样做呢？因为，我们需要一个可以时序第更新的方法，新来一次reward，就能将Q更新一次，而且不用把之前所有的都进行保存，只保存上一个时刻的平均值即可。这个小trick在很多地方是挺常用的，比如图像均值滤波中的一种优化算法就是这样的，可以减少运算量。
这个增量式方法还可以写成一个更通用的形式：
reference：
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Reinforcement Learning: An Introduction, by Sutton, R.S. and Barto