樹的定義（數據結構）
前言
這次我們學習樹和二叉樹，樹是一種一對多的非線性結構
一.樹導學
1.知識點線索
（概述）
第1章 數據結構、ADT、算法
（基礎）
（線性結構）
第2章 線性表
第3章 棧和隊列
第4章 字符串
第5章 數組與廣義表
（非線性結構）
第6章 樹和二叉樹
第7章 圖
（應用）
第9章 查找
第10章 內部排序
第11章 外部排序
2.知識點搜素
樹這一章依然是看他的兩種存儲結構，以及在這兩種結構上所進行的操作，從而再討論算法，但是我們要重點掌握對樹來說十分重要操作——遍歷.
3.主要內容
樹這裏需要掌握的內容有很多
4.樹的應用
樹的應用是普遍存在的，比如圖譜樹狀圖分支圖，還有比較常見的在計算機中的文件管理器，像是一顆倒着的樹。樹的特點很明顯是一對多：一個點對應着多個分支。
二.樹的定義
（在這裏我們討論的樹是一顆倒着的樹）
1.樹的定義
樹：T={D,R}
（1）樹的形式化定義用T來定義，主要包括D和R兩部分，D是數據，R是關係。D中的數據我們把它叫做結點，（樹中的結點就是他的數據）R是指結點和結點之間一對多的關係。通過這些結點和他們之間的關係來描繪出一顆樹。
D={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M}
R={r}
① r={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B,F>,<C,G>,<D,H>,<D,I>,<G,J>,<I,K>,<I,L>,<I,M>}
（2）D是包含n個節點的有窮集合（n≥0）
當n=0時爲空樹
當n>0時，關係R滿足以下一對多條件：
① 有且僅有一個節點d0∈D沒有前驅節點，節點d0稱作樹的根節點
② 除節點d0外，D中的每個節點有且僅有一個前驅節點
③ D中每個節點可以有零個或多個後繼節點
（有0個節點我們把它叫做葉子，除了葉子以外其他節點都有多個後繼）
（3）總結：
樹（Tree）是n（n≥0）個結點的有限集，或爲空樹（n = 0），或爲非空樹（n>0）。
對於非空樹T：
① 有且僅有一個稱之爲根的結點；
②除根結點以外的其餘結點可分爲m（m＞0）個互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 稱爲根的子樹（SubTree）。
（4）由樹的定義想到了——遞歸思想
在上棵樹建立的過程我們可以看出來，A結點爲根節點，他還包括T1，T2，T3這三棵子樹，這實際上體現了遞歸的思想，一棵樹的建立是由結點構成的多個子樹構成的。
2.樹的表示法
（1）樹形表示法：又叫做直觀表示法。
樹的表示法有多種，最常用的最普通的就是這種直觀表示法，也就是用圓圈代表着每個結點，結點和結點之間用線相連表示結點之間的關係。
（2）文氏圖表示法：又叫嵌套集合表示法。
A這棵樹被看作是一個大集合，這個集合中A是根，除了A這個根以外還有三個紫色的集合，也就是三棵子樹了，每棵子樹都有一個根，然後又包括他其中有幾顆子樹。
（3）凹入表示法：又叫目錄表示法。
把一棵樹看成了一篇文章一本書，這本書又分成了不同的章，每章又分爲不同的節，然後依次凹入進去
（4）括號表示法：又叫做廣義表表示法。
括號外A是根，括號括起來的是用逗號來隔開的三棵子樹，而每棵子樹又有他的根，然後括號括起來了。
3.樹的基本術語
➢ 根：根結點(沒有前驅) ： （A）
➢ 葉子：即終端結點(沒有後繼) ： （ KLFGHIJ）
➢ 森林：指m棵不相交的樹的集合(例如刪除A後的子樹個數 BCD三棵子樹)
➢ 有序樹：結點各子樹從左至右有序，不能互換（左爲第一棵子樹）
➢ 無序樹：結點各子樹可互換位置。
➢ 結點：即樹的數據元素（一般用圓圈表示，元素一般寫到圓圈裏面）
➢ 結點的度：結點掛接的子樹數（比如A的度爲3，C的度爲1）
➢ 結點的層次：從根到該結點的層數（根結點算第一層）
➢ 終端結點：即度爲0的結點，即葉子
➢ 分支結點：即度不爲0的結點（也稱爲內部結點，非葉子）
➢ 樹的度：所有結點度中的最大值（這棵樹中A和D的度最大，均爲3，所以這棵樹的度爲3）
➢ 樹的深度(或高度)：指所有結點中最大的層數（也就是從根節點開始數幾層，你會發現樹狀結構實際上是一種層次結構）
（有趣的術語，很像生活中我們的稱呼）
➢ 雙親：即上層的那個結點(直接前驅) （比如B結點的雙親就是A）
➢ 孩子：即下層結點的子樹的根(直接後繼) （孩子就是雙親反過來，比如A的孩子是BCD）
➢ 兄弟：同一雙親下的同層結點（孩子之間互稱兄弟）（比如BCD互爲兄弟）
➢ 堂兄弟：即雙親位於同一層的結點（但並非同一雙親）（比如FG互爲堂兄弟）
➢ 祖先：即從根到該結點所經分支的所有結點
➢ 子孫：即該結點下層子樹中的任一結點
4.樹的ADT（抽象數據類型）
ADT Tree
{
數據對象：
D = {ai | ai∈ElemType, i=1,2,…,n, n≧0 } //ElemType爲類型標識符
數據關係：
R =
{<ai,aj> | ai, aj∈D, i=1,2,…,n, j=1,2,…,n，其中每個元素只有一個前驅節點，可以有零個或多個後繼節點，有且僅有一個元素（根節點）沒有前驅節點
}
數據操作：
（1）初始化樹InitTree(&t)：構造一個空的樹t
（2）銷燬樹DestroyTree(&t)：釋放樹t佔用的內存空間
（3）求雙親節點Parent(t)：求t所指節點的雙親結點
（4）求子孫節點Sons(t)：求t所指節點的子孫節點
… …
}
樹的運算主要分爲三大類：
第一類，尋找滿足某種特定關係的節點，如尋找雙親節點。
第二類，插入或刪除某個節點，如在樹的當前節點上插入一個新節點或刪除當前節點的第i個孩子節點等。
第三類，遍歷樹中每個節點。
5.樹的遍歷
（1）什麼是遍歷？
①按照一定次序訪問樹中所有節點，並且每個節點僅
被訪問一次的過程。
② 遍歷是最基本的運算，是樹中所有其他運算的基礎。
（2） 樹有三種遍歷方式
① 先根遍歷：若樹不空，則先訪問根節點，然後依次
先根遍歷（都是先從左開始）各棵子樹。
ABEFCGJDHIKLM
②後根遍歷：若樹不空，則先依次後根遍歷各棵子樹，
然後訪問根節點。
EFBJGCHKLMIDA
③ 層次遍歷：若樹不空，則自上而下自左至右訪問樹
中每個節點。
ABCDEFGHIJKLM
（我們通常把先根遍歷和後根遍歷稱爲樹的深度優先遍歷，而層次遍歷稱爲廣度優先遍歷）
6.討論——樹的結構
樹的邏輯結構：
（1）討論1：樹的邏輯結構（特點）
①一對多（1:n）；
②有多個直接後繼，但只有一個根結點;
③子樹之間互不相交。
樹的存儲結構：
（1）討論1：樹是非線性結構，該怎樣存儲？
仍然有順序存儲、鏈式存儲方式。
（2）討論2：樹的順序存儲方案應該怎樣制定？
①可規定爲：從上至下、從左至右將樹的結點依次存入內存；
②重大缺陷：復原困難（不能唯一復原的話就沒有實用價值）。
（3）討論3：樹的鏈式存儲方案應該怎樣制定？
①可用多重鏈表：一個前趨指針，n個後繼指針。
②細節問題：樹中結點的樣式該如何設計？ “等長”？“不等長”？
③缺點：
等長結構太浪費（每個結點的度不一定相同）；
不等長結構太複雜（要定義好多種結構類型）。
後續
從樹的存儲結構我們可以看出，無論是順序存儲還是鏈式存儲，樹的存儲都很複雜，所以我們想到一種解決方法:
解決思路：先研究最簡單、最有規律的樹——二叉樹，然後把一般的樹轉化爲簡單樹。