EOJ 2018.2.5新生訓練Week3 D.Game of Chairs

n個椅子，c種顏色排成一圈，間隔1m。隨機選一種顏色，你要馬上移動到這種顏色的椅子上（原本顏色相同則不動）。求走動距離的最小期望（輸出最簡分數）。
1 ≤ c ≤ n ≤ 1e6

據說暴力模擬+優化（n^2—>nlogn？）2.5s內可過……不過這裏用了一些數學知識，複雜度降到O(n)。（其實是2n，不過eoj評測姬太快了，可以忽略）

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首先肯定是常規的環拆鏈操作：複製一份放到後面去。這樣就可以規定正方向爲向右，從左往右掃描了。
要求出答案，關鍵在於求出要坐的這個位置。要求出這個位置，無疑需要求出位置 i 到各個顏色椅子的最短期望距離和d(i)$d(i)$ 。
設D(i,k)$D(i,k)$ 爲椅子 i 到顏色爲 k 的椅子的最短期望距離。即：

d(i)=∑k=1cD(i,k)$$d(i)=\sum _{k=1}^{c}D(i,k)$$

我們發現，對每一個k，D(i,k)$D(i,k)$ 是一個關於 i 的分段函數：

1. i 在距離最近的顏色爲k的椅子左邊，則 i 每右移一次，離該椅子的距離-1，此時D′(i,k)=−1$D^{\prime }(i,k)=-1$ ；
2. 同理，i 在距離最近的顏色爲k的椅子右邊，則 i 每右移一次，離該椅子的距離+1，此時D′(i,k)=+1$D^{\prime }(i,k)=+1$ ；
3. 於是在中間某個時刻，我們移動到了這張椅子上，此時D′(i,k)=0$D^{\prime }(i,k)=0$ ，這裏是函數的駐點。再求（僞）二階導，由於一階導在這個點從-1變成了+1，我們可以認爲（僞）二階導D′′(i,k)=+2$D^{″}(i,k)=+2$ 。（這樣設定二階導是爲了方便後面求一階導和答案）

再考慮兩個相鄰的同色（k）椅子：當經過兩者中點前，我們離左邊椅子的距離小於離右邊椅子的距離，反之亦然。也就是說，在經過兩者中點時，D′(i,k)$D^{\prime }(i,k)$ 由+1變爲了-1（中間的椅子數爲奇時，會在中點處變爲0）。
因此，需要對ceil((i+j)/2)和floor((i+j)/2)這兩個點（中間的椅子數爲奇時，一個點）的二階導分別減1。

綜上，二階導處理完畢。對二階導求前綴和並且每項減c，得到一階導。再對一階導求前綴和（注意特判，第0個位置就是-c），得到每個位置的d(i)$d(i)$ ，最後取最小值，這題就終於做完了……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 2e6+5;
int n, c, a[maxn], nxt[maxn];
ll d[maxn];

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

int main()
{
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", a+i);
    for (int i = n+1; i <= (n<<1); ++i)
        a[i] = a[i-n];
    n <<= 1;
    for (int i = n; i >= 1; --i)
    {
        d[i] += 2;
        int &j = nxt[a[i]];
        if (j)
        {
            d[(i+j)>>1] -= 1;
            d[(i+j+1)>>1] -= 1;
        }
        j = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        d[i] += d[i-1];
    d[0] = -c;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        d[i] += -c;
    ll sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int &j = nxt[a[i]];
        if (j)
        {
            sum += i;
            j = 0;
        }
    }
    ll ans = (ll)n * n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        sum += d[i-1];
        if (sum < ans) ans = sum;
    }
    ll g = gcd(ans, c);
    ans /= g;
    c /= g;
    printf("%lld/%d\n", ans, c);
}