最近有點忙，好久沒跟進了，有興趣的朋友可以先熟悉下前三篇文章內容，（一）講述了基礎概念；（二）介紹了最大流算法的實現原理以及證明；（三）用Java語言予以了實現，歡迎大家批評指正。
回到正題，首先介紹下什麼是圖的邊連通度和點連通度。一般來說，點連通度是指對應一個圖G，對於所有點集U屬於V（G），也就是V（G）的子集中，使得G-U要麼是一個非連通圖，要麼就是一個平凡圖（即僅包含一個獨立點的圖），其中最小的集合U的大小就是圖G的點連通度，有時候也直接稱爲圖的連通度。通俗點說，就是一個圖G最少要去掉多少個點會變成非連通圖或者平凡圖。當然對於一個完全圖來說Kn來說，它的連通度就是n-1。
同理，邊連通度就是對於一個非平凡圖G，至少去掉多少條邊才能使得該圖變成非連通圖。我們的問題就是，對於任意一個圖，如何求該圖的連通度以及邊連通度？這跟最大流問題有什麼聯繫？
簡單起見，我們先說如何求一個圖的邊連通度lamda(G)。（基於無向圖考慮）
對於圖G，設u，v是圖G上的兩個頂點，定義r（u，v）爲刪除最少的邊，使得u到v之間沒有通路。將圖G轉換成一個流網絡H，u爲源點，v是匯點，邊容量均爲1，那麼顯然r（u，v）就是流網絡的最小割，根據（二）裏的介紹，其等於流網絡的最大流。
但是，目前爲止我們還沒解決完問題，因爲顯然我們要求的邊連通度lamda（G）是所有的點對<u,v>對應的r（u，v）中最小的那個值。這樣的話我們就必須遍歷所有的點對，遍歷的的複雜度爲O（n*n）。這顯然代價太高，而事實上，我們也不必遍歷所有點對。
如圖所示，設S爲圖G的最小割集，那麼lamda（G）=|S|。設在取任意一個點u，若u在L內，那麼必然至少存在一個點v，使得r（u，v）=|S|（v是在R內時即成立）。所以，我們只需要任取一個點u，計算u和其他點的r（u，v），取最小者，必然是等於最小割集，即邊連通度。
public class EdgeConnectivity {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
double graph[][]={{0,1,0,1,0,0},
{1,0,1,0,1,0},
{0,1,0,0,0,1},
{1,0,0,0,1,0},
{0,1,0,1,0,1},
{0,0,1,0,1,0}};
double graph2[][]={
{0,1,1,1,1,1},
{1,0,1,1,1,1},
{1,1,0,1,1,1},
{1,1,1,0,1,1},
{1,1,1,1,0,1},
{1,1,1,1,1,0}};
System.out.println(edgeConnectivity(graph2));
}
public static int edgeConnectivity(double graph[][])
{
double min=Double.MAX_VALUE;
for(int i=1;i<graph.length;i++)
{
double maxflow=FordFulkerson.edmondsKarpMaxFlow(graph, 0, i);
if(maxflow<min)
min=maxflow;
}
return (int)min;
}
}對於點連通度來說，可能就要複雜點了。求點連通度的方法就是轉換爲求邊連通度，所以就需要我們巧妙的去構造一個流網絡，使得其邊連通度等於我們原來的圖的點連通度。構造流網絡N：
若G爲無向圖：
(1) 原 G 圖中的每個頂點 v 變成 N 網中的兩個頂點 v' 和 v" ，頂點 v' 至 v" 有一條弧（有向邊）連接，弧容量爲 1;
(2) 原 G 圖中的每條邊 e ＝ uv ，在 N 網中有兩條弧 e’= u"v',e"=v"u' 與之對應， e' 弧容量爲 ∞ ， e" 弧容量爲 ∞
(3) 求該網絡的邊連通度
若 G 爲有向圖：
(1) 原 G 圖中的每個頂點變成 N 網中的兩個頂點 v’ 和 v” ，頂點 v' 至 v” 有一條弧連接，弧容量爲 1
(2) 原 G 圖中的每條弧 e ＝ uv 變成一條有向軌 u'u"v'v" ，其中軌上的弧 u"v' 的容量爲 ∞;
如下圖所示，原圖G：
轉換後的流網絡N：
Ok，如何在流網絡N上求邊連通度呢？按照我們求邊連通度的做法，選定一個點u作爲源點，然後遍歷<u,v>點對，其中v！=u。但是在這裏源點的選擇必須是u‘’，也就是說必須是拆分後的後點，也就是兩個撇的點。匯點的遍歷只能是前點，也就是一個撇的點。爲什麼呢？很簡單，比如若u’爲源點，那麼最大流只能是1，因爲只有一條有向邊從u‘連接到u’‘，切其容量爲1。同理，若v‘’爲匯點，那麼最大流也只能是1，因爲只有（v’，v'')的有向邊指向v‘’，且容量爲1。
這樣，我們也就更容易理解爲什麼是採用上面的策略來轉換到流網絡N了吧。代碼就不上了，和求邊連通度很類似。