“華爲杯”第十六屆研究生數模競賽最近頒獎也結束了，總結一下，(* /ω＼*)防止以後不知道忘到哪裏去了。
題目
問題1
給定2個場地的校正點數據，規劃路徑。需要滿足最基本的水平，垂直限制高度，屬於引導上手的問題。
方案
把限制條件和目標量化以後直接使用搜索算法搜索即可，這裏會涉及到一個矯正點數量與總路程長度的trade off。
結果
場景一路線：A→503→69→237→115→338→457→555→436→B
長度：104898
場景二路線：A→163→114→8→309→305→123→45→160→92→93 →61→292→B
長度：109342
問題2
在問題1的基礎上增加了轉彎半徑的路線限制。
方案
在問題1當中，由於不考慮轉彎半徑的問題，因此路徑規劃只需知道出發點和目的地點的座標，即可輕易模擬出飛行軌跡，計算飛行的代價等相關數據，這個小題增加了對轉彎半徑的約束，使得飛行器不能在點與點直接以直線的軌跡飛行。第一個思路想到的是泛函，求導相關的思路，轉彎半徑問題就可以轉化爲限制導數的大小的問題，但是後來由於數學菜雞有很多地方想不明白，並且算法實現起來非常有難度。
這個小題是我們隊當時花費時間最久的一個小題，甚至我們是先完成的第三小題，在解決的第二小題。
本着寫不來，就查論文的指導方針，找了很久論文，還真找到了一個非常切合問題的解決技術，Dubins曲線：
在1957年, Lester Eli Dubins (1920–2010)
證明任何路徑都可以由最大麴率和/或直線段組成（兩點之間的路徑必須存在）。
換句話說，連接兩點的最短路徑將通過最大麴率的曲的圓弧和直線段的構成。 後來Pontryagin的最大原則證明了相同的結果。
因此藉助dubins的相關理論，轉彎的地方出現的弧線要使距離最短，出現的弧線的曲率要最大，即最小的轉彎半徑的圓。因此可以不用考慮是否曲線是不是爲圓弧或者曲率是否合適等問題，需要轉彎的地方，直接用最大麴率的圓弧代替即可，這樣問題就被簡化爲已知入射角和出射角，利用已知圓弧的一部分將角度轉過來的問題。
dubins曲線研究的是二維平面的性質，我們利用投影的實現，將xyz空間上的一系列校正點，分別投影到xOy平面（底面）和zOy平面（後面），將三維空間的路徑規劃分解爲兩個正交的二維的平面的優化問題。分別計算出xOy平面和zOy平面的軌跡之後，統一x座標，取對應的y，z座標，即可合併爲一條三維的路線。
結果
場景一路線：A→503→69→237→233→598→561→448→485→B
長度：104935
場景二路線：A→163→114→8→309→305→123→45→160→92→93→61→292→B
長度：109411
由於最小轉彎半徑爲200m，圖示的距離卻在100000m的維度，因此拐角十分不明顯，不過由於增加了這個限制，在第一問中原本規劃的路徑由於在某幾個校正點之前十分極限（誤差僅僅相差零點零幾米），導致原本路徑規劃無法正常通過，從而重新規劃了對第一小題來說的次優路徑（誤差相對寬鬆）
問題3
在第一問的基礎上增加了校正成功的概率問題。
方案
這個小題我感覺我們的解法存在相當大的問題，非常之暴力（太菜了沒辦法╮(╯▽╰)╭）。我們這邊採用了一種說起來非常高大上的方法來解決概率問題，蒙特卡洛方法求解概率。說穿了就是一遍又一遍的模擬，然後統計成功和不成功的次數來逼近真實的概率。這導致我們第三問的算法非常低效，因爲前兩問沒有變量一個路徑只要跑一次，第三問因爲有概率，因此我們設定了一旦路徑中包含含有概率的矯正點，就讓他模擬跑k次，來算這條路徑成功的概率( ′ 3`) 。
結果
場景一路線：A → 578 → 417 → 80 → 237 → 607 → 33 →194 → 450 → 448 → 485 → 302 → 612 → B
航跡長度爲 108439 m,誤差校正點 12 點,成功抵達終點概率 100% 。
場景一路線：A → 169 → 322 → 100 → 137 → 194 → 190 → 296 → 250 → 243
→ 73 → 82 → 44 → 211 → 321 → 279 → 301 → 38 → 287 → 99 → 326 → B
航跡長度爲 147271 m,誤差校正點 19 點,成功抵達終點概率 64.01% 。
由於我們秉持成功抵達優先（其實是因爲路徑包含不穩定點的話要進行重複模擬太費時間╮(╯▽╰)╭），因爲不穩定點的關係，饒了很多遠路，但是場景一還是能繞出來，場景二因爲點設置的非常極限，必須要經過不穩定點（主辦方應該也不想我們可以完全繞過吧，不然就退化成減少了校正點的第一問了），導致最後成功率只有65%。這個已經比第一問的時候的場景二的路線多繞了將近4w米了，可以看到路線十分曲折╥﹏╥
寫在最後
本次比賽我是負責代碼的構建與數值解的求解過程，（這裏說的是我求解的思路，並且過去有點久了，有可能和文章中的描述有些許的出入）另外兩位隊友分別負責問題的數學公式化和文章的寫作。感覺數模分工明確還是挺重要的（有全能大佬的除外），不然一個人肯定是來不及的。
順便說一句，我們比賽幾天做下來，竟然沒有通宵(≧∇≦)ﾉ，簡直不敢相信，有可能太菜，有很多要注意的點沒有注意到吧。