一些奇奇怪怪的时间复杂度分析（持续更新）

前言

整理了一些长相清奇的时间复杂度分析……
约定：
1.如果没有特殊说明，默认$T(0)=T(1)=1$
2.如果没有特殊说明，默认log的底数为2。
3.一些地方会说$T(n)=O(...)$，意会就好qwq

0.一些定义

0.1 大O记号定义

对于函数$f,g$，若$\exist$常数$n_0,c$，使得对于$\forall n>n_0$，$f(n)<c*g(n)$，那么说$f(n)$是$O(g(n))$的，即$f(n)\in O(g(n))$。

0.2 时间复杂度定义

对于一个程序所需要执行的运算次数$T(n)$，若$T(n)\in O(f(n))$，则把$O(f(n))$称为这个程序的时间复杂度。
例如当$T(n)=\frac{1}{3}n^3+100n+10086$时，我们说这个程序的时间复杂度是$O(n^3)$。证明是显然的，随便取个$n_0=100,c=100$就可以了，不多说。
当然，上面的$T(n)$也可以说是$O(n^4)$的，这并不矛盾。一般来说，我们用的时间复杂度是增长速度尽量慢的，也就是说取尽量贴近实际的$T(n)$的增长速度的复杂度。所以一般我们用$O(n^3)$而不是$O(n^4)$来表示上面的$T(n)$。

再举几个例子：
$T(n)=n+logn$，那么$T(n)$是$O(n)$的。对于$n>10$，$n+logn<2n$。
$T(n)=2^{n+logn}=n2^n$，$T(n)$是$O(n2^n)$的。注意这里不能从$n+logn$是$O(n)$的推出$2^{n+logn}$是$2^n$的，要注意。至于为什么这个不是$O(2^n)$，因为$n_0$和$c$必须是$\color{red}常数$。

1.基本时间复杂度分析

1.0 主定理

对于递归函数，如果满足$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$，分类讨论：
假设$c$是一个正常数。
（1）若$f(n)=n^{log_ba}$，那么$T(n)=O(n^{log_ba}logn)$
（2）若$f(n)=n^{log_ba-c}$，那么$T(n)=O(n^{log_ba})$
（3）若$f(n)=n^{log_ba+c}$，且对于所有足够大的$n$有$af(\frac{n}{b})<f(n)$，那么$T(n)=O(f(n))$

1.1 线性递推式

$1.T(n)=T(n-1)+c$（$c$是常数），则$T(n)=O(cn)$
$2.T(n)=T(n-1)+n$，则$T(n)=O(n^2)$
奇水……

1.2 普通分治

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n$，则$T(n)=O(nlogn)$
证明：展开，$T(n)=O(n)+2T(\frac{n}{2})$
$=O(n)+2*O(\frac{n}{2})+4T(\frac{n}{4})$
$=...$
$=O(n)+O(n)+...+O(n)$ （每次除以$2$，除$logn$次到1，所以共$logn$个$O(n)$）
$=O(nlogn)$

主定理版：$a=2,b=2,log_ba=log_22=1$
$f(n)=O(n^1)=O(n^{log_ba})$（打不出中间有一横的符号……意会一下qwq）
$=>T(n)=O(f(n)*logn)=O(nlogn)$

1.3 诡异的分治（也许这不是分治……）

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+k$，则$T(n)=O(nk)$
证明：展开，$T(n)=O(k)+2T(\frac{n}{2})$
$=O(k)+2O(k)+4T(\frac{n}{4})$
$=...$
$=O(k)+2O(k)+4O(k)+...+2^{t-1}O(k)+2^{t}T(1)$ （为了方便，记$t=logn$）
$=(2^{t}-1)O(k)+O(2^{t+1})$
$=O(nk)+O(2n)$
$=O(nk)$

主定理：？？？？

1.4 玄学分治

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+nlogn$，则$T(n)=O(nlog^2n)$
证明：考虑$T(2^n)$
$T(2^n)=2T(2^{n-1})+2^n*n$
$=2(2T(2^{n-2})+2^{n-1}*(n-1))+2^n*n$
$=4T(2^{n-2})+2^n*(n-1)+2^n*n$
$=...$
$=O(2^n)*1+O(2^n)*2+...+O(2^n)*n$
$=O(2^nn^2)$
然后$T(n)=T(2^{logn})=O(2^{logn}(logn)^2)=O(nlog^2n)$
之前尝试用数学归纳法……发现竟然弄出普通分治也是$O(nlog^2n)$……然后才发现那样用数学归纳法是不严谨的……

主定理版：$a=2,b=2,log_ba=log_22=1$
$f(n)=O(nlogn)=O(n^{log_ba}logn)$
$=>T(n)=O(f(n)*logn)=O(nlog^2n)$

2.长相奇特的递归式

2.1 巨神mhy弄出的奇怪东西

有一次巨神mhy在CF比赛的时候弄出一个$T(n)=2T(\sqrt n)+logn$的东西……
那么$T(n)=O(logn*loglogn)$
证明：上式不好直接证，考虑它的等价形式：
因为$2^{logn}=n$，所以上式等价于$T(2^n)=O(nlogn)$
由已知，$T(2^n)=2T(\sqrt{2^n})+O(log(2^n))$
化简，$T(2^n)=2T(2^\frac{n}{2})+O(n)$
发现$n$每次都变成$\frac{n}{2}$，所以类比普通分治的证明，$T(2^n)=O(nlogn)$
于是$T(n)=O(lognloglogn)$

主定理：？？？？

2.2 一道诡异的初赛题

给出式子$T(n)=2T(\frac{n}{4})+\sqrt n$
感觉比上面的那一个还水……思路很自然qwq
同样考虑$T(4^n)=2T(4^{n-1})+\sqrt{4^n}$
$=2(2T(4^{n-2})+\sqrt{4^{n-1}})+2^n$
$=4T(4^{n-2})+2*\sqrt{4^{n-1}}+2^n$
$=4T(4^{n-2})+2^n+2^n$
$=...$
$=2^nT(1)+2^n+2^n+...+2^n$ （共$n$个$2^n$）
$=O(2^n*n)$
然后$T(n)=T(4^{log_4n})=O(2^{log_4n}log_4n)$
因为$4^{log_4n}=n$，所以$2^{log_4n}=\sqrt n$，而$log_4n$与$logn$同级
所以$T(n)=O(\sqrt n logn)$

主定理版：$a=2,b=4,log_ba=log_42=0.5$
$f(n)=O(\sqrt n)=O(n^\frac{1}{2})=O(n^{log_ba})$
$=>T(n)=O(f(n)*logn)=O(\sqrt nlogn)$

2.3 恶臭学军题

$T(n)=25T(\frac{n}{5})+n\sqrt n$
考虑$T(5^n)=25T(5^{n-1})+5^n\sqrt{5^n}$
$=25^2T(5^{n-2})+25*5^{n-1}\sqrt{5^{n-1}}+5^n*sqrt{5^n}$
$=...$
$=25^nT(1)+25^{n-1}5\sqrt 5+25^{n-2}25\sqrt{25}+...+5^n\sqrt{5^n}$
$=\sqrt{5^{4n}}+\sqrt{5^{4n-1}}+\sqrt{5^{4n-2}}+...+\sqrt{5^{3n}}$
$=\frac{\sqrt{5^{4n+1}}-\sqrt{5^{3n}}}{\sqrt 5-1}$ （等比数列求和）
$=\frac{\sqrt 5*5^{2n}-5^n\sqrt{5^n}}{\sqrt 5-1}$
把$5^n$换成$n$，得$T(n)=\frac{\sqrt 5n^2-n\sqrt n}{\sqrt 5-1}=O(n^2)$

主定理版：$a=25,b=5,f(n)=O(n\sqrt n)=O(n^{1.5})$
$log_ba=log_5{25}=2$
$f(n)=O(n^{1.5})=O(n^{log_ba-0.5})$
$=>T(n)=O(n^{log_ba})=O(n^2)$

2.4 证明主定理

3.摊还分析

注：为了方便，部分内容里写了$O(0)$qwq（不严谨，但是是这个意思）

3.1 进栈1个/出栈k个

你需要维护一个栈，初始为空，要求资磁两种操作：
1.把$x$压进栈
2.弹出$k$个元素（$k\le$ 栈大小）
总共$q$中操作，栈大小$<=n$
暴力即珂……时间复杂度？1操作$O(1)$，2操作$O(k)$
时间复杂度$O(qk)=O(nq)?$
口胡出时间复杂度为线性qwq

发现每次弹出$k$个元素，$k$的范围是与栈大小，也就是有多少个$x$没被弹出的1操作有关。

核算法：（核算法大法吼！）
每一个1操作，以后最多把这个元素弹出一次（废话qwq）
记1操作的摊还代价为$1$，则2操作的复杂度变成$O(0)$
然后1操作的总代价为$O(1)$，共$q$次操作，时间复杂度$O(q)$

聚合分析：（聚合分析也还珂以）
发现如果1操作有$x$个，那么2操作的总时间复杂度最高为$O(x)$
所以考虑最坏情况，1操作有$q$个时，2操作的总时间复杂度为$O(q)$
所以总时间复杂度为$O(q)+O(q)=O(q)$

势能法：（恶臭）
势能法蜃孙……
令$T(i,势能)$表示前$i$次操作珂能达到的最高复杂度（即势能qwq），$T(i,实际)$表示前$i$次操作实际达到的复杂度。
令$f(i)$表示执行了第$i$个操作后的势能
势能公式：$T(i)=T(i,实际)+f(i)-f(i-1)$
即：第$i$步操作的（最后平均）总代价等于第$i$步操作的实际代价加上从第$i-1$步操作到第$i$步操作的势能变化。
回到例子，让势能=栈中有多少个元素，那么1操作会让势能+1，2操作会让势能-k。
于是1操作的总代价为$1+1=2$，2操作总代价为$k-k=0$
因此1操作总复杂度为$O(1)$，2操作总复杂度为$O(0)$
最后的总复杂度为$O(q)$
恶臭无比……

3.2 bzoj3133 ball machine复杂度分析

推销一波题解
懒得写了……和3.1没多大差别……去题解里看吧qwq

3.3 表扩张（vector的push_back？）

维护一个数组，初始大小为1，要求资磁插入一个数，当数组满了的时候，开一个大小为原来的两倍的数组，把当前的数据复制过去。（规定单次扩容复杂度为$O(扩容前数组大小)$）
每一次最坏复杂度为$O(n)$……时间复杂度$O(n^2)$？
一共$logn$次扩容，每次$O(n)$，时间复杂度$O(nlogn)$？
然而并不是qwq

核算法：（蜃香）
每次把数组扩大到原来的两倍的时候，这$O(n)$的复杂度均摊到每个插入操作上qwq
于是每个插入操作的摊还代价为$O(1)$，扩容操作变为$O(0)$
插入操作总复杂度是$O(1)$，所以最后总复杂度$O(n)$

聚合分析：
假设最后数组大小为$n$，则扩容了$logn$次
扩容复杂度为$O(1)+O(2)+O(4)+...+O(2^{logn})=O(n)$
插入复杂度为$O(1)*n=O(n)$
所以总复杂度为$O(n)$

势能法：（恶臭）
还没想到什么直观的势能函数……但是想到一个诡异的东西不知道是否正确……口胡一波qwq
令1操作的势能变化为1（意义大概是在扩容的道路上走了多远？），那么2操作的势能变化为-n。
口胡得出1操作总代价为$O(1)$，2操作总代价为$O(0)$
于是总复杂度为$O(n)$

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//两条分割线以表敬意
令势能函数$f(i)=2num-siz$，其中$num$表示数组内元素的个数，$siz$表示数组大小。
易证若一个插入操作没有触发扩容，引起的势能变化是2。摊还代价为$O(1)$。
若某次插入操作引起了扩容，假设插入前的数组大小是$n$，那么里面的元素个数也是$n$。
扩容前：势能$f=2num-siz=2n-n=n$。
扩容后：势能$f=2num-siz=2(n+1)-2n=2$。
所以势能变化为$2-n$，那么引起扩容操作的插入操作的摊还代价为$n+(2-n)=O(1)$
综上，插入操作的摊还复杂度为$O(1)$。
不得不说，势能函数还是很妙的……

3.4 表扩张&删除（push_back,pop_back）

//咕咕咕
问：如果你需要维护一个数据结构，需要资磁在尾部插入/删除数，还要使浪费的空间尽量少，怎么做？
（扩容，收缩复杂度均为$O(数的个数)$）
如果模仿3.3，当数组个数小于$\frac{siz}{2}$时收缩，显然会gg（当数的个数为$siz-1$时不断插入、删除、插入、删除……）
所以考虑减少收缩次数：
不妨让数的个数少于$\frac{siz}{4}$时收缩，这样就不会有毒瘤（LXL）来卡掉了qwq
时间复杂度分析：

核算法：
每次扩容的复杂度分摊到至少$n$个插入操作上，每个插入操作分摊到$O(1)$
收缩时，假设最后一次扩容时数组大小为$siz$，那么数的个数最多的时候最少也是$\frac{siz}{2}$个，而收缩时数的个数会变成$\frac{siz}{4}$个，所以中间最少会有$\frac{siz}{4}$级别的删除操作。
把$O(siz)$的复杂度分摊到$\frac{siz}{4}$级别的操作上，每个操作分到$O(1)$。
综上，插入/删除的摊还复杂度均为$O(1)$

聚合分析：
假设插入、删除操作共有$n$个。那么插入和收缩操作最多都是$n$的数量级。
由3.3的聚合分析珂知，扩容操作的总复杂度为$O(n)$
假设$O(2^x)$的收缩操作出现了$a_x$次，那么收缩操作复杂度$F(n)=O(1)*a_1+O(2)*a_2+...+O(2^n)*a_n$（忽略一些边界问题qwq）
因为若一个收缩操作是$O(2^{siz})$的，那么这个收缩操作珂以支配$2^{siz}$级别的删除操作，
所以$a_x$个$O(2^{x})$的收缩操作珂以支配$2^x*a_x$个收缩操作。
因为收缩操作的总数不超过$n$，所以$1*a_1+2*a_2+...+2^{n}*a_n\le n$
所以$F(n)=O(n)$
单次插入/删除的复杂度是$O(1)$，$n$次就是$O(n)$
综上，总时间复杂度为$O(n)$

势能法：
咕咕咕……

暂时就这些qwq