2019 CSP-S Day2-T1 Emiya 家今天的飯

題目

Description

Input

Output

輸出到文件 meal.out 中。
僅一行一個整數，表示所求方案數對 998, 244, 353 取模的結果。

Sample Input

Sample Input1
2 3
1 0 1
0 1 1

Sample Input2
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

Sample Input3
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

Sample Output

Sample Output1
3

Sample Output2
190

Sample Output3
742

Data Constraint

題解

• 作爲聯賽的Day2-T1，理論上應該AC是應該不難的，
• 但是，這道題偏偏難倒了我。。。考場上簡直覺得這是神仙題！！！
• 賽後一想，這題並沒有那麼難，隨着一檔又一檔部分分的實現，我離正解越來越近，
• 不得不說，這是一道質量很高的題（其實聯賽題質量都挺高的），主要體現在分了許多子任務和它們各自的不同與聯繫。
• 開始進入正題——
• 觀察滿分數據大小，猜測正解的複雜度應該是$O(n^2m)$的。
• 先想最簡單的暴力怎麼做？
• 暴力搜索每種烹飪方法選用什麼食材或不選該種烹飪方法，時間複雜度$O(m^n)$，期望得分32分。
• 發現每次DFS到下一種烹飪方法時，最多一種食材數量改變，
• 又看到有64分數據的$m$特別小，想到可以DP，先枚舉總共選多少種烹飪方法，再設$f[i][j][k][l]$表示當前選到第$i$種食材，$m$種食材分別選了$j,k,l$個的方案數，如果$m=1$或$2$多餘的$k,l$就恆爲$0$，
• 每次從$f[i-1][j][k][l]$或$f[i-1][j-1][k][l]$或$f[i-1][j][k-1][l]$或$f[i-1][j][k][l-1]$轉移，須保證$j,k,l$不大於$\frac{n}{2}$。
• 時間複雜度$O(n^5)$，其中$n$的指數會隨$m$增大而增大，所以$m>3$時是過不去的，期望得分64分。
• 如果$m>3$的話，該怎麼記錄呢？開若干維狀態？還是狀態壓縮？還是什麼奇技淫巧？似乎都是不行的。。。
• 要是順着這種思路下去，這題就只能拿到這麼多分了！
• （這就是考場上的我，心涼~~~）
• 重新回到題目，要求每種食材使用次數不能超過總數的一半，想到容斥，用總方案數減去不合法的。
• 總方案數用遞推很好實現，那麼不合法的呢？
• 會發現無論怎麼選，也最多隻會有一種食材出現不合法（這個重要結論似乎很顯然，可沒想到是就是沒想到），，，
• 因此，我們枚舉哪種食材不合法，然後簡單地DP，
• 記錄當前總共選了多少個，且有多少個是不合法的那種。
• 時間複雜度$O(n^3m)$，期望得分84.
• 顯然要優化掉一個$n$，考慮減少一維狀態，
• 改成記錄不合法減去合法的個數，最後這一維大於$0$的部分就是可以累計的答案，
• 時間複雜度$O(n^2m)$，期望得分100！

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define md 998244353
ll a[110][2010],f[110][210],sum[2010];
int main()
{
   freopen("meal.in","r",stdin);
   freopen("meal.out","w",stdout);
   int n,m,i,j,k,l;
   scanf("%d%d",&n,&m);
   for(i=1;i<=n;i++)
   	for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
   f[0][0]=1;
   for(i=1;i<=n;i++)
   {
   	sum[i]=0;
   	for(j=1;j<=m;j++) sum[i]=(sum[i]+a[i][j])%md;
   	for(j=0;j<=i;j++) 
   	{
   		f[i][j]=f[i-1][j];
   		if(j) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-1]*sum[i])%md;
   	}
   }
   ll ans=0;
   for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[n][i])%md;
   for(k=1;k<=m;k++)
   {
   	f[0][n]=1;
   	for(i=1;i<=n;i++)
   	{
   		for(j=-i;j<=i;j++)
   		{
   			f[i][j+n]=f[i-1][j+n];
   			if(j>-i) f[i][j+n]=(f[i][j+n]+f[i-1][j-1+n]*a[i][k])%md;
   			if(j<i) f[i][j+n]=(f[i][j+n]+f[i-1][j+1+n]*(sum[i]-a[i][k]+md))%md;
   		}
   	}
   	for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans-f[n][i+n]+md)%md;
   }
   printf("%lld",ans);
   fclose(stdin);
   fclose(stdout);
   return 0;
}