Manacher算法操作詳解

Manacher

問題引入

• 求一個長度爲$n$的字符串中迴文子串的個數？
• （或：求一個長度爲$n$的字符串中最長的迴文子串的長度？）
• 迴文串：一個正讀和反讀相同的字符串，稱之爲迴文串。

用已有的知識

• 算法一：枚舉開頭，枚舉結尾，得到一個串，再掃一遍判斷是否爲迴文串，若是，答案加$1$，時間複雜度$O(n^3)$。
• 算法二：枚舉開頭，枚舉結尾，得到一個串，用字符串哈希判斷其是否爲迴文串，若是，答案加$1$，時間複雜度$O(n^2)$。
• 算法三（對下文有用）：枚舉迴文串的對稱中心，分長度爲奇或偶兩種情況，分別向兩端延伸，若延伸到的最大長度爲$s$（以奇數的情況爲例，最大擴展到$st_{i-s+1}$和$st_{i+s-1}$），那麼答案加上$s$，時間複雜度$O(n^2)$。
• 枚舉迴文串的對稱中心，分長度爲奇或偶兩種情況，分別二分能延伸的長度，用字符串哈希判斷，若延伸到的最大長度爲$s$（以奇數的情況爲例，最大擴展到$st_{i-s+1}..st_{i+s-1}$），那麼答案加上$s$，時間複雜度$O(n\log_2 n)$。

提出疑問

• 有沒有更快的方法，比如$O(n)$？
• 有沒有更簡潔的方法，不用哈希？
• 答案是：有！

算法介紹

• 算法名稱：Manacher’s Algorithm
• 主要思路是用已經計算出的迴文子串，利用它迴文的特性，對即將計算的迴文子串提供一定的幫助。
• 需要記錄$l,r$表示已經找出的迴文子串中，右端點最靠右的迴文子串所在區間，
• 初始值分別爲$0,-1$。
• 以下以長度爲奇數的情況爲例，介紹算法操作流程。
• 從$1-n$依次枚舉字符串的對稱中心，對於每個$i$，考慮向兩邊擴展，擴展的最長長度爲$d_i$（也就是最大擴展到$st_{i-d_i+1}..st_{i+d_i-1}$）。
• 定義樸素算法爲上文“用已有的知識”中的算法三，
• 那麼我們考慮優化這個樸素算法，算法的核心是利用已有的$d$來加速計算當前的$d_i$。
• 分兩種情況：
• 一、$i>r$（若長度爲偶數則$i≥r$）
• 直接調用樸素算法計算$d_i$。
• 二、$i≤r$（若長度爲偶數則$i<r$）
• 即說明$i$在迴文子串$st_l..st_r$內，那麼找到$i$在這個迴文子串中對稱的點$j$，
  $j=l+r-i$
• 因爲對稱，所以巧妙地利用這個性質，$d_i=d_j$，
• 思考：這樣是正確的嗎？？
• 其實不然——
• 因爲以爲中心$j$的迴文子串，左邊界可能超出$l$，那麼對稱過去到了$i$就不在大回文子串$st_l..st_r$內了，不能保證也迴文，所以
  $d_i=min(d_j,r-i+1)$
• 同理，對$i$而言，以它爲中心的實際最大回文子串可能右邊界超出$r$，那麼$d_j$是計算不到的，所以，在上式的基礎上，再次調用樸素算法。
• 至此，這個問題完美解決。

時間複雜度分析

• 算法是兩重循環，看似複雜度極限會是$O(n^2)$？？？
• 其實並不如此，實際上，它的複雜度十分優秀。
• 觀察調用樸素算法的條件，發現每次樸素算法的調用，只會判斷還沒有被迴文子串覆蓋過的字符，也就是說，每個字符只會被樸素算法進行一次，
• 這樣下來，時間複雜度是均攤$O(n)$的。