bzoj1041 & 洛谷2508 HAOI2008 圓上的整點 數學

題目鏈接：
洛谷2508
bzoj1041

Description
求一個給定的圓$(x^2+y^2=r^2)$，在圓周上有多少個點的座標是整數。

Input
只有一個正整數$n,n<=2000 000 000$

Output
整點個數

Sample Input
4
Sample Output
4

首先不難看出最終答案是第一象限的整點數乘4加上四個座標軸上的點。
所以假設$x>0,y>0$。
移項，得到$x^2=n^2-y^2=(n+y)(n-y)$
關鍵一步： 設$d=gcd(n+y,n-y)$，$n-y=da^2,n+y=db^2$，則$a,b$互質。
代入，得到$x^2=d^2a^2b^2$，$x=dab$。
因爲$n+y=db^2,n-y=da^2$，所以
兩式相減有$2y=d(b^2-a^2)$，即
兩式相加有$2n=d(b^2+a^2)$，所以$d|2n$。
不妨設$a<b$，由$a^2+b^2=\frac{2n}{d}$得$a^2<\frac{n}{d}$。
枚舉$d,a$，然後求出$b$，然後判$gcd(a,b)==1$和$2n=d(b^2+a^2)$即可qwq

毒瘤代碼

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define re register int
#define rl register ll
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {
	re x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') {
		if(ch=='-')	f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9') {
		x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
const int Size=10005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
ll n,t,num[Size];
int main() {
	n=read();
	int tot=0;
	ll sn=sqrt(t=(n<<1));
	//先對2n分解質因數 
	for(re i=1; i<sn; i++) {
		if(t%i==0) {
			num[++tot]=i;
			num[++tot]=t/i;
		}
	}
	if(t%sn==0)	num[++tot]=sn;
	int ans=0;
	for(re i=1; i<=tot; i++) {
		ll d=num[i],maxa=n/d;
		for(rl a=1; a*a<maxa; a++) {
			ll b=sqrt(t/d-a*a);
			if(__gcd(a,b)==1 && d*(a*a+b*b)==t) {
				ans++;
			}
		}
	}
	printf("%d",(ans<<2)+4);
	return 0;
}