第2章 度量空間與連續映射
從數學分析中讀者已經熟知單變量和多變量的連續函數，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分．在這一章中我們首先將連續函數的定義域和值域主要特徵抽象出來用以定義度量空間，將連續函數的主要特徵抽象出來用以定義度量空間之間的連續映射（參見§2.1）．然後將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射（參見§2.2）．隨後再逐步提出拓撲空間中的一些基本問題如鄰域，閉包，內部，邊界，基和子基，序列等等．
§2.1 度量空間與連續映射
本節重點：掌握拓撲學中度量的概念及度量空間中的連續映射的概念．
注意區別：數學分析中度量、連續映射的概念與本節中度量、連續映射的概念．
注意，在本節的證明中,應細細體會證明的方法．
首先讓我們回憶一下在數學分析中學習過的連續函數的定義．函數f：R→R稱爲在點∈R處是連續的，如果對於任意實數ε＞0，存在實數δ＞0，使得對於任何x∈R，當|x-|<δ時,有
|f(x)-f()|<ε.在這個定義中只涉及兩個實數之間的距離（即兩個實數之差的絕對值）這個概念；爲了驗證一個函數在某點處的連續性往往只要用到關於上述距離的最基本的性質，而與實數的其它性質無關，關於多元函數的連續性情形也完全類似．以下，我們從這一考察出發，抽象出度量和度量空間的概念.
定義2.1.1 設X是一個集合，ρ：X×X→R．如果對於任何
x，y，z∈X，有
（1）（正定性），ρ(x,y)≥0並且ρ(x,y)＝0當且僅當x=y；
（2）(對稱性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；
（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)
則稱ρ是集合X的一個度量．
如果ρ是集合X的一個度量，稱（X，ρ）是一個度量空間，或稱X是一個對於ρ而言的度量空間．有時，或者度量ρ早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至於引起混淆，這時我們稱X是一個度量空間．此外，對於任意兩點x，y∈X，實數ρ(x，y)稱爲從點x到點y的距離．
着重理解：度量的本質是什麼？
例2.1.1 實數空間R．
對於實數集合R，定義ρ：R×R→R如下：對於任意x，y∈R，令
ρ（x，y）=|x-y|．容易驗證ρ是R的一個度量，因此偶對（R，ρ）是一個度量空間．這個度量空間特別地稱爲實數空間或直線．這裏定義的度量ρ，稱爲R的通常度量，並且常常略而不提，逕稱R爲實數空間．（今後我們說實數空間，均指具有通常度量的實數空間．）
例2.1.2 n維歐氏空間．
對於實數集合R的n重笛卡兒積
＝R×R×…×R
定義ρ：×→R如下：對於任意x=（）,
y=，
令
ρ（x，y）＝
容易驗證（詳見課本本節最後部分的附錄）ρ是的一個度量，因此偶對(，ρ)是一個度量空間．這個度量空間特別地稱爲n維歐氏空間．這裏定義的度量ρ，稱爲的通常度量，並且常常略而不提，逕稱爲n維歐氏空間．2維歐氏空間通常稱爲歐氏平面或平面．（今後說通常度量，均指滿足這種公式的度量）
例2.1.3 Hilbert空間H．
記H爲平方收斂的所有實數序列構成的集合，即
H＝{x=()|<∞}
定義ρ如下：對於任意
x＝（），y＝（）∈H
令ρ(x,y)=
說明這個定義是合理的（即驗證<∞）以及驗證ρ是H的一個度量，均請參見課本本節最後部分的附錄．偶對（H，ρ）是一個度量空間．這個度量空間特別地稱爲Hilbert空間．這裏定義的度量ρ稱爲H的通常度量，並且常常略而不提，逕稱H爲Hilbert空間．
例2.1.4 離散的度量空間．
設（X，ρ）是一個度量空間．稱（X，ρ）是離散的，或者稱ρ是X的一個離散度量，如果對於每一個x∈X，存在一個實數＞0使得ρ（x，y）＞對於任何y∈X，x≠y，成立．
例如我們假定X是一個集合，定義ρ：X×X→R使得對於任何
x，y∈X，有
ρ(x,y)=
容易驗證ρ是X的一個離散的度量，因此度量空間（X，ρ）是離散的．
通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實數．
離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今後會發現它的性質是簡單的．
定義2.1.2 設（X，ρ）是一個度量空間，x∈X．對於任意給定的實數ε＞0，集合
{y∈X|ρ（x，y）<ε}
記作B（x，ε），或，稱爲一個以x爲中心以ε爲半徑的球形鄰域,簡稱爲x的一個球形鄰域，有時也稱爲x的一個ε鄰域．
此處的球形鄰域是球狀的嗎？
定理2.1.1 度量空間（X，ρ）的球形鄰域具有以下基本性質：
（1）每一點x∈X,至少有一個球形鄰域，並且點x屬於它的每一個球形鄰域；
（2）對於點x∈X的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含於兩者；
(3)如果y∈X屬於x∈X的某一個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含於x的那個球形鄰域．
證明:（1）設x∈X．對於每一個實數ε＞0，B（x，ε）是x的一個球形鄰域，所以x至少有一個球形鄰域；由於ρ（x，x）=0，所以x屬於它的每一個球形鄰域．
(2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的兩個球形鄰域，任意選取實數
ε＞0，使得ε＜min{ }，則易見有
B（x，ε）B（x，）∩B（x，）
即B（x，ε）滿足要求．
（3）設y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．顯然．＞0．如果z∈B（y，），則
ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε
所以z∈B（x，ε）．這證明B（y，）B（x，ε）．
定義2.1.3 設A是度量空間X的一個子集．如果A中的每一個點都有一個球形鄰域包含於A（即對於每一個a∈A，存在實數ε＞0使得B（a，ε）A，則稱A是度量空間X中的一個開集．
注意：此處的開集僅是度量空間的開集．
例2.1.5 實數空間R中的開區間都是開集．
設a，b∈R，a＜b．我們說開區間
（a，b）={x∈R|a＜x＜b}
是R中的一個開集．這是因爲如果x∈（a，b），若令
ε＝min{x-a，b-x}，
則有B（x，ε）（a，b）．也同樣容易證明無限的開區間
（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}
（-∞,∞）＝R
都是R中的開集．然而閉區間
[a，b]={x∈R|a≤x≤b}
卻不是R中的開集．因爲對於a∈[a，b]而言，任何
ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．類似地，半開半閉的區間
（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}
無限的閉區問
[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}
都不是R中的開集．
定理2.1.2 度量空間X中的開集具有以下性質：
（1）集合X本身和空集都是開集；
（2）任意兩個開集的交是一個開集；
（3）任意一個開集族（即由開集構成的族）的並是一個開集．
證明 根據定理2.1.1
（1）X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集中不包含任何一個點，也自然地可以認爲它滿足開集的條件．
（2）設U和V是X中的兩個開集．如果x∈U∩V，則存在x的一個球形鄰域B（x，）包含於U，也存在x的一個球形鄰域B（x，）包含於V．根據定理2.1.1（2），x有一個球形鄰域B（x，ε）同時包含於B（x，）和B（x，），因此
B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V
由於U∩V中的每一點都有一個球形鄰域包含於U∩V，因此U∩V是一個開集．
（3）設*Α是一個由X中的開集構成的子集族．如果，則存在∈*A使得x∈由於是一個開集，所以x有一個球形鄰域包含於，顯然這個球形鄰域也包含於．這證明是X中的一個開集．
此外，根據定理2.1.1（3）可見，每一個球形鄰域都是開集．
球形鄰域與開集有何聯繫？
爲了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點推廣．
定義2.1.4 設x是度量空間X中的一個點，U是X的一個子集．如果存在一個開集V滿足條件：x∈VU，則稱U是點x的一個鄰域．
下面這個定理爲鄰域的定義提供了一個等價的說法，並且表明從球形鄰域推廣爲鄰域是自然的事情．
定理2.1.3 設x是度量空間X中的一個點．則X的子集U是x的一個鄰域的充分必要條件是x有某一個球形鄰域包含於U．
證明 如果U是點x的一個鄰域，根據鄰域的定義存在開集V使得
x∈VU，又根據開集的定義，x有一個球形鄰域包含於V，從而這個球形鄰域也就包含於U．這證明U滿足定理的條件．
反之，如果U滿足定理中的條件，由於球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域．
現在我們把數學分析中的連續函數的概念推廣爲度量空間之間的連續映射．
定義2.1.5 設X和Y是兩個度量空間，f:X→Y，以及∈X如果對於f()的任何一個球形鄰域B（f(),ε），存在的某一個球形鄰域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），則稱映射在點處是連續的．
如果映射f在X的每一個點x∈X處連續，則稱f是一個連續映射．
以上的這個定義是數學分析中函數連續性定義的純粹形式推廣．因爲如果設ρ和分別是度量空間X和Y中的度量，則f在點處連續，可以說成：對於任意給定的實數ε＞0，存在實數δ＞0使得對於任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有
(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．
下面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續映射的概念推廣爲拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射的出發點．
定理2.1.4 設X和Y是兩個度量空間，f：X→Y以及∈X．則下述條件（1）和（2）分別等價於條件（1）*和（2）*：
（1）f在點處是連續的；
（1）*f()的每一個鄰域的原象是的一個鄰域；
（2）f是連續的；
（2）*Y中的每一個開集的原象是X中的一個開集．
證明 條件（1）蘊涵（1）*：設（1）成立．令U爲f（）的一個鄰域．根據定理2.1.3，f（）有一個球形鄰域B（f（），ε）包含於U．由於f在點處是連續的，所以有一個球形鄰域
B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以
B（，δ）（U），這證明（U）是的一個鄰域．
條件（1）*蘊涵（1）．設條件（1）*成立．任意給定f（）的一個鄰域B（f(),ε），則（B（f()，ε）是的一個鄰域．根據定理2.1.3，有一個球形鄰域B（，δ）包含於
（B（f（），ε）．
因此f（B（，δ））B（f（），ε）．這證明f在點處連續．
條件（2）蘊涵（2）*．設條件（2）成立．令V爲Y中的一個開集，
U＝（V）．對於每一個x∈U，我們有f（x）∈V．由於V是一個開集，所以V是f（x）的一個鄰域．由於f在每一點處都連續，故根據（1）*，U是x的一個鄰域．於是有包含x的某一個開集Ux使得UxU．易見U＝∪x∈UUx．由於每一個Ux都是開集，根據定理2.1.2，U是一個開集．
條件（2）*蘊涵（2）．設（2）*成立，對於任意x∈X，設U是f（x）的一個鄰域，即存在包含f（x）的一個開集V U．從而x∈（V）（U）．根據條件（2）*，（V）是一個開集，所以（U）是x的一個鄰域，對於x而言，條件（1）*成立，於是f在點x處連續．由於點x是任意選取的，所以f是一個連續映射．
從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續的，或者在某一點處是否是連續的，本質上只與度量空間中的開集有關（注意，鄰域是通過開集定義的）．這就導致我們甩開度量這個概念，參照度量空間中開集的基本性質（定理2.1.2）建立拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射的概念