§4.3 連通分支
本節重點:
掌握連通分支的定義(即連通”類”的分法)；
掌握連通分支的性質(定理4.3.1)．
從前面兩節中的內容可以看出，知道一個拓撲空間是否連通給我們處理一些問題帶來很大的方便．這導致我們去考察一個我們並不知道是否連通的拓撲空間中的“最大”連通子集（即連通分支）．
定義4.3.1 設X是一個拓撲空間，x，y∈X．如果X中有一個連通子集同時包含x和y，我們則稱點x和y是連通的．(注意:是點連通)
根據定義可見，如果x，y，z都是拓撲空間X中的點，則
（1）x和x連通（因爲每一個單點集都是連通子集）；
（2）如果x和y連通，則y和x也連通；（顯然）
（3）如果x和y連通，並且y和z連通，則x和z連通．（這是因爲，這時存在X中的連通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．從而由於y∈A∩B可見A∪B連通，並且x，z∈A∪B．因此x和z連通．）
以上結論歸結爲：拓撲空間中點的連通關係是一個等價關係．
定義4.3.2 設X是一個拓撲空間．對於X中的點的連通關係而言的每一個等價類稱爲拓撲空間X的一個連通分支．
如果Y是拓撲空間X的一個子集．Y作爲X的子空間的每一個連通分支稱爲X的子集Y的一個連通分支．
拓撲空間X≠的每一個連通分支都不是空集；X的不同的連通分支無交；以及X的所有連通分支之並便是X本身．此外，x，y∈X屬於X的同一個連通分支當且僅當x和y連通．
拓撲空間X的子集A中的兩個點x和y屬於A的同一個連通分支當且僅當A有一個連通子集同時包含點x和y．
定理4.3.1 設X是一個拓撲空間，C是拓撲空間X的一個連通分支．則
（1）如果Y是X的一個連通子集，並且Y∩C≠；
（2）C是一個連通子集；
（3）C是一個閉集．
本定理中的條件（1）和（2）說明，拓撲空間的每一個連通分支都是X的一個最大的連通子集．
證明 （1）任意選取x∈Y∩C．對於任何y∈Y由於x和y連通，故y∈C．這證明YC．
（2）對於任何x，y∈C，根據定義可見，存在X的一個連通子集使得x，y∈．顯然∩C≠，故根據（1），C．應用定理4．1．7可知，C是連通的．
（3）因爲C連通，根據定理4．1．5，連通．顯然，．所以根據（1），．從而C是一個閉集．
但是，一般說來連通分支可以不是開集．例如考慮有理數集Q（作爲實數空間R的子空間）．設x，y∈Q，x≠y．不失一般性，設x＜y．如果Q的一個子集E同時包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一個無理數，x＜r＜y．此時易見A和B都是Q的非空開集，並且E＝A∪B．因此E不連通．以上論述說明E中任何一個包含着多於兩個點的集合都是不連通的，也就是說，Q的連通分支都是單點集．然而易見Q中的每一個單點集都不是開集．
記住這個事實:任一個集合A都可以由含於它內部的所有連通分支的並而成(且這些連通分支互不相交)．即使是離散空間,它的每一個點自成連通分支,這個結論也成立．