§2.3 邻域与邻域系
本节重点：
掌握邻域的概念及邻域的性质；
掌握连续映射的两种定义；
掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．
定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈VU，则称U是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．
首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．
定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．
证明 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，
使得
故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．
定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．
定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：
（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；
（2）如果U，V∈，则U∩V∈；
（3）如果U∈并且UV，则V∈；
（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)VU和(b)对于任何y∈V，有V∈．
证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果
U∈，则x∈U
（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈
（3）设U∈，并且
（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．
以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．
定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点x∈X，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)
现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．
定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果
f（x）∈Y的每一个邻域U的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．
与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．
这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．
定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；
（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．
证明请读者自己补上．
以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．
定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．
证明必要性：设映射f连续，
这证明f在点X处连续．
充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．
这就证明了f连续．