[机器学习] 奇异谱分析(SSA)原理及Python实现

最近做时间序列分析的时候需要用到奇异谱分析，发现网上可以查到的资料很有限，看paper的时候发现大部分也说得有些简略，所以这里看完之后总结一下。

  奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)是一种处理非线性时间序列数据的方法，通过对所要研究的时间序列的轨迹矩阵进行分解、重构等操作，提取出时间序列中的不同成分序列(长期趋势，季节趋势，噪声等)，从而进行对时间序列进行分析或去噪并用于其他一些任务。
  奇异谱分析主要包括四个步骤：嵌入——分解——分组——重构。

1. 嵌入

  SSA的分析对象是有限长一维时间序列 $[x_1, x_2,...,x_N]$，$N$ 为序列长度。首先需要选择合适的窗口长度 $L$ 将原始时间序列进行滞后排列得到轨迹矩阵：
$\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc}{x_{1}} & {x_{2}} & {\cdots}& {x_{N- L+1}} \\ {x_{2}} & {x_{3}} & {\cdots} & {x_{N-L+2}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {x_{L}} & {x_{L+1}} & {\cdots} & {x_{N}}\end{array}\right]$通常情况下取 $L<N/2$。令 $K =N-L+1$，则轨迹矩阵$\boldsymbol{X}$ 为$L\times{K}$的矩阵
$\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc}{x_{1}} & {x_{2}} & {\cdots}& {x_{K}} \\ {x_{2}} & {x_{3}} & {\cdots} & {x_{K+1}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {x_{L}} & {x_{L+1}} & {\cdots} & {x_{N}}\end{array}\right]$

2. 分解

  接下来对轨迹矩阵进行奇异值分解，注意，这里是对轨迹矩阵进行SVD分解。看资料的时候就是在奇异值分解这里困惑了很久，具体来说就是将 $\boldsymbol{X}$ 分解为以下形式：
$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{T}$ 其中 $\boldsymbol{U}$ 称为左矩阵；$\boldsymbol{\Sigma}$ 仅在主对角线上有值，就是奇异值，其他元素均为零； $\boldsymbol{V}$ 称为右矩阵。此外 $\boldsymbol{U}、\boldsymbol{V}$ 均为单位正交阵，满足 $\boldsymbol{U}\boldsymbol{U}^T=\boldsymbol{I}, \boldsymbol{V}\boldsymbol{V}^T=\boldsymbol{I}$。
  由于直接对轨迹矩阵分解比较困难，因此首先计算轨迹矩阵的协方差矩阵：
$\boldsymbol{S} = \boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^T$ 接下来对 $\boldsymbol{S}$ 进行特征值分解得到特征值 $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots>\lambda_{L} \geqslant 0$ 和对应的特征向量 $U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{L}$。此时$\boldsymbol{U} =[U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{L}]$，$\sqrt{\lambda_{1}}>\sqrt{\lambda_{2}}>\cdots>\sqrt{\lambda_{L}} \geqslant 0$为原序列的奇异谱 。并且有
$\boldsymbol{X}=\sum_{m=1}^{L} \sqrt{\lambda_{m}} U_{m} V_{m}^{T}, \quad V_{m}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} U_{m} / \sqrt{\lambda_{m}}, \quad m=1,2,...,L$ 这里 $\lambda_{i}$ 对应的特征向量 $U_{i}$ 反映了时间序列的演变型，称为时间经验正交函数(T-EOF)。

实际上python已经提供了奇异值分解的函数np.linalg.svd()可以很方便的计算。关于奇异值分解更详细的介绍可以看这篇博客。

3. 分组

  关于分组，文献中很常见的叙述是下面这样：

简单来说将所有的 $L$ 个成分分为 $c$ 个不相交的组，代表着不同的趋势成分。这样接下来选择主要的成分进行重构得到重构序列。Emmm。。。。这样介绍可真是太简洁明了导致动手实现的时候真是一脸懵。

  因此在实现的时候参考了另一个版本，这里将分组和重构放到一块吧。。。。。这个版本有助于实现但是ran半天ran不清哪里是分组，被自己菜哭。。。。。。。。。。

4. 重构

  所以这里接分解步。首先计算迟滞序列 $X_i$ 在 $U_m$ 上的投影：
$a_{i}^{m}=\boldsymbol{X}_{i} U_m=\sum_{j=1}^{L} x_{i+j} U_{m,j}, \quad 0\leq{i}\leq{N-L}$ $X_i$ 表示轨迹矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的第 $i$ 列，$a_{i}^{m}$ 是 $\boldsymbol{X}_{i}$ 所反映的时间演变型在原序列的$x_{i +1} , x_{i +2} ,…, x_{i +L}$时段的权重, 称为时间主成分(TPC)。看到这里应当发现了，由$a_{i}^{m}$ 构成的矩阵实际上就是没有归一化的右矩阵， 即 $\sqrt{\lambda_{m}}V_{m}$ ！
  接下来就可以通过时间经验正交函数和时间主成分来进行重建，具体重构过程如下：
$x_{i}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i} a_{i-j}^{k} U_{k, j}, \quad 1 \leqslant i \leqslant L-1} \\ \\{\frac{1}{L} \sum_{j=1}^{L} a_{i-j}^{k} U_{k, j}, \quad L \leqslant i \leqslant N-L+1} \\ \\ {\frac{1}{N-i+1} \sum_{j=i-N+L}^{L} a_{i-j}^{k} E_{k, j}, \quad N-L+2 \leqslant i \leqslant N}\end{array}\right.$ 这样，所有重构序列的和应当等于原序列，即
$x_{i}=\sum_{k=1}^{L} x_{i}^{k} \quad i=1,2 \cdots, N$ 通常情况下我们使用SSA只是为了提取原序列的主要成分，以去噪为例，我们只需要根据奇异值的大小选择前 $k(k \leq L)$ 个贡献大的成分重构原序列即可。

python程序

#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-

'''
@Date    : 2019/11/11
@Author  : Rezero
'''

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

path = "xxxx"  # 数据集路径

series = np.loadtxt(path)
series = series - np.mean(series)   # 中心化(非必须)

# step1 嵌入
windowLen = 20              # 嵌入窗口长度
seriesLen = len(series)     # 序列长度
K = seriesLen - windowLen + 1
X = np.zeros((windowLen, K))
for i in range(K):
    X[:, i] = series[i:i + windowLen]

# step2: svd分解， U和sigma已经按升序排序
U, sigma, VT = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)

for i in range(VT.shape[0]):
    VT[i, :] *= sigma[i]
A = VT

# 重组
rec = np.zeros((windowLen, seriesLen))
for i in range(windowLen):
    for j in range(windowLen-1):
        for m in range(j+1):
            rec[i, j] += A[i, j-m] * U[m, i]
        rec[i, j] /= (j+1)
    for j in range(windowLen-1, seriesLen - windowLen + 1):
        for m in range(windowLen):
            rec[i, j] += A[i, j-m] * U[m, i]
        rec[i, j] /= windowLen
    for j in range(seriesLen - windowLen + 1, seriesLen):
        for m in range(j-seriesLen+windowLen, windowLen):
            rec[i, j] += A[i, j - m] * U[m, i]
        rec[i, j] /= (seriesLen - j)
        
rrr = np.sum(rec, axis=0)  # 选择重构的部分，这里选了全部

plt.figure()
for i in range(10):
    ax = plt.subplot(5,2,i+1)
    ax.plot(rec[i, :])

plt.figure(2)
plt.plot(series)
plt.show()

运行程序结果如下，左边是原始序列，右边是按奇异值排序的前十个成分序列，可以看到除了前几个剩余的基本都可以视为噪声序列。

如果取前五个序列重构，最后重构出的序列如下

相比原序列可以看到重构出的序列明显比原序列平滑，但是同时保持了总体的变化情况。

参考资料

https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html
基于SSA的GPS座标序列去噪及季节信号提取