swjtu2382（Paint Box）

題目鏈接：http://swjtuoj.cn/problem/2382/

容斥原理。首先，用k種顏色的方案爲c(k,k)*(k)*(k-1)^(n-1)，從k種顏色方案中減去用k-1種顏色方案c(k,k-1)*(k-1)*(k-2)^(n-1)，得到恰好用k種顏色方案數，多減去的k-2種顏色方案數c(k,k-2)*(k-2)*(k-3)^(n-1)要重新加上，依此類推。

ans = C(m,k)*Sigma(c(k,k-i)*(k-i)*(k-i-1)^(n-1)*(-1)^(i))(0<=i<k)。

知識點1：快速冪求乘法逆元

b 關於 mod 的逆元 x = b^(mod-2) % mod

(a / b) % mod = (a * x) % mod

知識點2：計算C(n,m)的快速計算方法

C(n,m) = (n*(n-1)*……*(n-m+1)) / m! = (n/1) * ((n-1)/2) * ((n-2) / 3) * …… * ((n-m+1) / 1)

除法用乘法逆元

具體見代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;

typedef  long long ull;

const ull mod = 1e9 + 7;

ull ksp(ull a, ull b)//知識點1，快速冪求乘法逆元
{
    ull ret = 1;
    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 1)
            ret = (ret * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }

    return ret;
}

ull C(ull n, ull m)//知識點2
{
    ull ret = 1;
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        ret = ret * (n-i+1) % mod * ksp(i, mod-2) % mod;// (n-i+1)/i == (n-i+1)*(i 的逆元)
    }

    return ret;
}

int main()
{
    int t;

    cin >> t;
    for (int _=0; _<t; _++)
    {
        ull n, m, k;
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);

        ull ans = 0;
        ull cmk = 1;
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            cmk = (((cmk * (k-i+1)) % mod) * ksp(i, mod-2)) % mod;
            ull ret = (((cmk * i) % mod) * ksp(i-1, n-1)) % mod;
            if ((k-i) % 2 == 1)
                ans = (ans + mod - ret) % mod;
            else
                ans = (ans + ret) % mod;
        }
        ans = (ans * C(m,k)) % mod;

        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}