基礎數論定義和定理

1. 定義

1. $a|b, a \in Z, b \in Z$表示$a$能整除$b$。
2. $a \equiv b (\mod m)$, $a\in Z, b\in Z, m \in Z$表示$m$能整除$a-b$。

2. 定理

2.1. 定理1

$a, b, c\in Z, a\neq 0$，有

1. 如果$a|b$且$a|c$，那麼$a|(b+c)$。
2. 如果$a|b$，那麼對於任何整數c有$a|bc$。
3. 如果$a|b$且$b|c$，那麼$a|c$。

2.1.1. 引理1

如果a、b和c是整數，而且$a\neq0$，$a|b$，$a|c$，那麼對於任何整數m、n，都有$a|mb+nc$。

2.2. 定理2

除法算法：a是整數，d是正整數。那麼存在獨一無二的整數q和r，滿足$0\leq r < d$，使得$a=dq+r$。

2.3. 定理3

對於$a,b \in Z$和$m\in Z^+$，$a\equiv b (\mod m)$ 當且僅當 $a\mod m \equiv b \mod m$。

2.4. 定理4

有一個正整數m。$a\equiv b (\mod m)$當且僅當存在一個整數k使得$a=b+km$。

2.5. 定理5

有一個正整數m。如果有$a\equiv b (\mod m)$和$c\equiv d(\mod m)$，那麼有$a+c\equiv b+d (\mod m)$和$ac\equiv bd (\mod m)$。

2.5.1. 引理2

有一個正整數m和整數a、b，我們有$(a+b)\mod m=((a \mod m)+(b\mod m))\mod m$ 和 $ab \mod m=((a\mod m)(b\mod m))\mod m$成立。