1. 定义
- a∣b,a∈Z,b∈Z表示a能整除b。
- a≡b(modm), a∈Z,b∈Z,m∈Z表示m能整除a−b。
2. 定理
2.1. 定理1
a,b,c∈Z,a=0,有
- 如果a∣b且a∣c,那么a∣(b+c)。
- 如果a∣b,那么对于任何整数c有a∣bc。
- 如果a∣b且b∣c,那么a∣c。
2.1.1. 引理1
如果a、b和c是整数,而且a=0,a∣b,a∣c,那么对于任何整数m、n,都有a∣mb+nc。
2.2. 定理2
除法算法:a是整数,d是正整数。那么存在独一无二的整数q和r,满足0≤r<d,使得a=dq+r。
2.3. 定理3
对于a,b∈Z和m∈Z+,a≡b(modm) 当且仅当 amodm≡bmodm。
2.4. 定理4
有一个正整数m。a≡b(modm)当且仅当存在一个整数k使得a=b+km。
2.5. 定理5
有一个正整数m。如果有a≡b(modm)和c≡d(modm),那么有a+c≡b+d(modm)和ac≡bd(modm)。
2.5.1. 引理2
有一个正整数m和整数a、b,我们有(a+b)modm=((amodm)+(bmodm))modm 和 abmodm=((amodm)(bmodm))modm成立。