自適應濾波器：維納濾波器3——GSC算法及語音增強

本文轉載自：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6621185.html

 

前言

仍然是西蒙.赫金的《自適應濾波器原理》第四版第二章，首先看到無約束維納濾波，接着到了一般約束條件的濾波，此處爲約束擴展的維納濾波，全文包括：

　　1）背景介紹；

　　2）廣義旁瓣相消（Generalized Sidelobe Cancellation, GSC）理論推導；

　　3）GSC應用——語音陣列信號增強；

內容爲自己的學習記錄，其中錯誤之處，還請各位幫忙指正！ 

 

一、背景介紹

在一般約束條件的維納濾波中，有的約束條件，即. 如爲旋轉向量時，希望在處保留波束—>對應，希望在θ2θ2處抑制波束—>對應，寫成一般形式：

                               

寫成更一般的形式：

                                

假設w權值個數爲M，在一般約束維納濾波中可以看出：限定條件使得結果更符合預期的效果。假設C爲M×L的矩陣：L個線性約束條件。對於M個變量的方程組，對應唯一解最多有M個方程，即：對於L個線性約束來講，我們仍可以繼續利用剩下的M-L個自由度進行約束，使得結果更加符合需求（比如增強某信號、抑制某信號等），這便是GSC的背景。

 

二、GSC理論推導

　　A-理論介紹

書中的推導較爲繁瑣，我們可以從投影空間的角度加以理解，也就是最小二乘結果的矩陣求逆形式，給出簡要說明：

對於矩陣A（N×M）:

• 如果A是滿列秩（N>=M）對於符合LA=I的矩陣解爲：;
• 如果A是滿行秩（N<=M）對於符合AR=I的矩陣解爲：.

對於，得出最優解：

                            

記：

                            

爲了便於對餘量進行控制，將C擴展爲：，的列向量爲矩陣C列向量張成空間的正交補空間的基，即：

                                 

分析新的空間特性：

                    

上式有，這就說明只要滿足該條件，就是補空間的餘量，如何保證一定有呢？可以將寫爲：的形式，之所以添加——可能是因爲正交補空間可以認爲C列向量空間不能表徵的成分，我們通常認爲這一部分爲該丟棄的殘差，也因爲是殘差：通常被稱爲阻塞矩陣（取Block之意）,很多書籍用B表示。

 重新給出推導的結果：

                              

對應結構圖爲：

                    

簡化後可以認爲上支、下支：

                      

這是維納濾波器的典型結構。

　　B-阻塞矩陣的選取

阻塞矩陣這一段摘自：秦博雅《基於低複雜度自適應信號處理的波束成形技術研究》p22~23.

大致有以下幾種方式：

 

三、陣列信號增強

學了這個GSC怎麼應用呢？這裏參考一篇07年adaptive beamforming（引用見最後的參考）的例子，簡要說明思路，關於阻塞矩陣。

文中結構圖：

即：分別利用GSC框架，通過最小互信息實現信號的分離，其中、即都提前給定，優化、。

定義互信息：

其中，

                                         

                                          

在幅度（嚴格來講是傅里葉係數幅度）爲正態條件下，得到：

                                  

給出輸出表達式：

                                   

並給出準則函數——相關係數的表達式：

                                             

其中，

                       

                      

其中相關、互相關無法得到統計信息，仍然可以基於遍歷性假設：利用時間換取空間，近似求取。

文中提到引入正則化（regularization）

                          

這個只是優化過程中的限定條件，與GSC框架關係不大，不再補充。

這裏在網上找去了一個8通道（channel）的混合語音（兩個說話人），利用該算法進行分析，給出主要代碼：

主要代碼：

MMI_define_var(Xf1,Xf2);
%initialization
W1 = [0 0 0 0.1 0 0 0.2 ];
W2 = [0 2 0 0 0.2 0 0.1 ];
[Wa1,Wa2]=MMI_EstimateWa([W1 W2]');

其中MMI_define_var定義變量:

function MMI_define_var(Xf1,Xf2)
 
global Wq B covX1X1 covX2X2  covX1X2  len;
 
Wq=[1 1 1 1 1 1 1 1]'*1/8;
B=[1 -1 0 0 0 0 0 0 ;0 1 -1 0 0 0 0 0 ;0 0 1 -1 0 0 0 0 ;0 0 0 1 -1 0 0 0 ;0 0 0 0 1 -1 0 0 ;0 0 0 0 0 1 -1 0 ;0 0 0 0 0 0 1 -1 ]';
 
[~,len]=size(Xf2);
XfMean1=mean(Xf1.');
XfMean2=mean(Xf2.');
for i=1:8
    Xf1(i,:)=Xf1(i,:)-XfMean1(i);
    Xf2(i,:)=Xf2(i,:)-XfMean2(i);
end
 
covX1X1=Xf1*Xf1'/len;
covX2X2=Xf2*Xf2'/len;
covX1X2=Xf1*Xf2'/len;

<span style="font-size: 14px;">MMI_EstimateWa實現參數估計:<br></span>

function [Wa1 Wa2]=MMI_EstimateWa(W)
%obtain the Wa
ww=[real(W)' imag(W)']';
 
options = optimset('LargeScale','off','display','off');
[X,fval] = fminunc('MMI_real_imag_objfun',ww,options);
X_real=X(1:14);
X_imag=X(15:28);
Wa1_real=X_real(1:7);
Wa1_imag=X_imag(1:7);
Wa2_real=X_real(8:14);
Wa2_imag=X_imag(8:14);
 
Wa1=Wa1_real+sqrt(-1)*Wa1_imag;
Wa2=Wa2_real+sqrt(-1)*Wa2_imag;
end

對應結果圖：

                               

可以聽出來：雖然略有雜音，但兩個說話人的聲音已經實現了分離，GSC框架有效。如果不同說話人聲達時間估計準確，迭代算法應用合適，效果會更好，此處主要介紹GSC應用，細節不再琢磨，有興趣的可以探索探索。

 

參考：

• K. Kumatani, T. Gehrig, U. Mayer, E. Stoimenov, J. McDonough and M. WÖlfel, "Adaptive Beamforming With a Minimum Mutual Information Criterion," in IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing, vol. 15, no. 8, pp. 2527-2541, Nov. 2007.
• Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.