數據結構-（一維）線段樹

簡介

1. 線段樹的本質是由對元數據的區間計算結果緩存組成平衡二叉樹(不一定是完全二叉樹)

2. 緩存結果取決於給定的融合算法，在jdk1.8+中，這個算法可被標記爲BinaryOperator<E>類型

3. 線段樹的元數據和緩存數據均可由數組保存，但不一定是完全二叉樹，會存在浪費空間的可能

4. 數組的可靠空間大小爲元數據個數的4倍，推算過程如下

優勢

區間操作	數組	線段樹
更新	O($n$)	O($\log(n)$)
查詢	O($n$)	O($\log(n)$)

實現

Github源碼

結構

元數據與樹，均用數組表示：

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree;
    private E[] data;
    private BinaryOperator<E> merger;
}

索引計算

    private int left(int index) {
        return (index << 1) + 1;
    }
    private int right(int index) {
        return left(index) + 1;
    }
    private int mid(int l, int r) {
        return l + ((r - l) >> 1);
    }

建樹

初始化，區間操作時均涉及此方法。可以查看動畫演示

    private void buildSegmentTree(int index, int l, int r) {
        // 遞歸到底了，l==r意味着沒有孩子節點了，沒必要融合，直接賦值
        if (l == r) {
            tree[index] = data[l];
            return;
        }
        int left = left(index);
        int right = right(index);
        int mid = mid(l, r);
        buildSegmentTree(left, l, mid);
        buildSegmentTree(right, mid + 1, r);
        tree[index] = merger.apply(tree[left], tree[right]);
    }

區間操作

查詢

    public E query(int left, int right) {
        // 此處忽略索引檢查
        return query(0, 0, size() - 1, left, right);
    }

    /**
     * 根據左右範圍索引值[lq,rq]遞歸查詢
     * [l,r]肯定是包含[lq,rq]的
     *
     * @param index 當前片段樹索引
     * @param l     當前片段樹索引下支持的最小索引值
     * @param r     當前片段樹索引下支持的最大索引值
     * @param lq    結果需要的最小索引值
     * @param rq    結果需要的最大索引值
     * @return 返回索引範圍在(lq, rq)的結果融合值
     */
    private E query(int index, int l, int r, int lq, int rq) {
        if (l == lq && r == rq) {
            return tree[index];
        }
        int lc = left(index);
        int rc = right(index);
        int mid = mid(l, r);
        if (lq > mid) {
            return query(rc, mid + 1, r, lq, rq);
        }
        if (rq <= mid) {
            return query(lc, l, mid, lq, rq);
        }
        // 左子樹融合結果
        E lr = query(lc, l, mid, lq, mid);
        // 右子樹融合結果
        E rr = query(rc, mid + 1, r, mid + 1, rq);
        return merger.apply(lr, rr);
    }

更新

單點更新

單節點更新是指只更新線段樹的某個葉子節點的值，但是更新葉子節點會對其父節點的值產生影響，因此更新子節點後，要回溯更新其父節點的值。

    public void set(int index, E e) {
        set(0, 0, size() - 1, index, e);
    }
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }
        int mid = mid(l, r);
        int left = left(treeIndex);
        int right = right(treeIndex);
        if (index > mid) {
            set(right, mid + 1, r, index, e);
        } else {
            set(left, l, mid, index, e);
        }
        tree[treeIndex] = merger.apply(tree[left], tree[right]);
    }

這裏面的treeIndex初始值設置爲0是沒有問題的，後期（行13和行15）會被動態替換掉。

區間更新

區間更新類似於Arrays.fill(...)

這裏給出多態形式，分別是值更新和規則更新

    public void fill(E e) {
        fill(x -> e);
    }

    public void fill(E e, int l, int r) {
        Arrays.fill(data, l, r, e);
        buildSegmentTree(0, l, r);
    }

    public void fill(Function<E, E> function) {
        fill(function, 0, size() - 1);
    }

    public void fill(Function<E, E> function, int l, int r) {
        if (l == r) {
            set(l, function.apply(data[l]));
            return;
        }
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            data[i] = function.apply(data[i]);
        }
        buildSegmentTree(0, l, r);
    }

注

區間更新還有個懶惰標記的概念，聽說是其精髓，這裏不實現，可以參考線段樹的懶惰標記小筆記