数据结构-（一维）线段树

简介

1. 线段树的本质是由对元数据的区间计算结果缓存组成平衡二叉树(不一定是完全二叉树)

2. 缓存结果取决于给定的融合算法，在jdk1.8+中，这个算法可被标记为BinaryOperator<E>类型

3. 线段树的元数据和缓存数据均可由数组保存，但不一定是完全二叉树，会存在浪费空间的可能

4. 数组的可靠空间大小为元数据个数的4倍，推算过程如下

优势

区间操作	数组	线段树
更新	O($n$)	O($\log(n)$)
查询	O($n$)	O($\log(n)$)

实现

Github源码

结构

元数据与树，均用数组表示：

public class SegmentTree<E> {
    private E[] tree;
    private E[] data;
    private BinaryOperator<E> merger;
}

索引计算

    private int left(int index) {
        return (index << 1) + 1;
    }
    private int right(int index) {
        return left(index) + 1;
    }
    private int mid(int l, int r) {
        return l + ((r - l) >> 1);
    }

建树

初始化，区间操作时均涉及此方法。可以查看动画演示

    private void buildSegmentTree(int index, int l, int r) {
        // 递归到底了，l==r意味着没有孩子节点了，没必要融合，直接赋值
        if (l == r) {
            tree[index] = data[l];
            return;
        }
        int left = left(index);
        int right = right(index);
        int mid = mid(l, r);
        buildSegmentTree(left, l, mid);
        buildSegmentTree(right, mid + 1, r);
        tree[index] = merger.apply(tree[left], tree[right]);
    }

区间操作

查询

    public E query(int left, int right) {
        // 此处忽略索引检查
        return query(0, 0, size() - 1, left, right);
    }

    /**
     * 根据左右范围索引值[lq,rq]递归查询
     * [l,r]肯定是包含[lq,rq]的
     *
     * @param index 当前片段树索引
     * @param l     当前片段树索引下支持的最小索引值
     * @param r     当前片段树索引下支持的最大索引值
     * @param lq    结果需要的最小索引值
     * @param rq    结果需要的最大索引值
     * @return 返回索引范围在(lq, rq)的结果融合值
     */
    private E query(int index, int l, int r, int lq, int rq) {
        if (l == lq && r == rq) {
            return tree[index];
        }
        int lc = left(index);
        int rc = right(index);
        int mid = mid(l, r);
        if (lq > mid) {
            return query(rc, mid + 1, r, lq, rq);
        }
        if (rq <= mid) {
            return query(lc, l, mid, lq, rq);
        }
        // 左子树融合结果
        E lr = query(lc, l, mid, lq, mid);
        // 右子树融合结果
        E rr = query(rc, mid + 1, r, mid + 1, rq);
        return merger.apply(lr, rr);
    }

更新

单点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。

    public void set(int index, E e) {
        set(0, 0, size() - 1, index, e);
    }
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }
        int mid = mid(l, r);
        int left = left(treeIndex);
        int right = right(treeIndex);
        if (index > mid) {
            set(right, mid + 1, r, index, e);
        } else {
            set(left, l, mid, index, e);
        }
        tree[treeIndex] = merger.apply(tree[left], tree[right]);
    }

这里面的treeIndex初始值设置为0是没有问题的，后期（行13和行15）会被动态替换掉。

区间更新

区间更新类似于Arrays.fill(...)

这里给出多态形式，分别是值更新和规则更新

    public void fill(E e) {
        fill(x -> e);
    }

    public void fill(E e, int l, int r) {
        Arrays.fill(data, l, r, e);
        buildSegmentTree(0, l, r);
    }

    public void fill(Function<E, E> function) {
        fill(function, 0, size() - 1);
    }

    public void fill(Function<E, E> function, int l, int r) {
        if (l == r) {
            set(l, function.apply(data[l]));
            return;
        }
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            data[i] = function.apply(data[i]);
        }
        buildSegmentTree(0, l, r);
    }

注

区间更新还有个懒惰标记的概念，听说是其精髓，这里不实现，可以参考线段树的懒惰标记小笔记