（1）引言
CRC的全稱爲Cyclic Redundancy Check，中文名稱爲循環冗餘校驗。它是一類重要的線性分組碼，編碼和解碼方法簡單，檢錯和糾錯能力強，在通信領域廣泛地用於實現差錯控制。實際上，除數據通信外，CRC在其它很多領域也是大有用武之地的。例如我們讀軟盤上的文件，以及解壓一個ZIP文件時，偶爾會碰到“Bad CRC”錯誤，由此它在數據存儲方面的應用可略見一斑。
利用CRC進行檢錯的過程可簡單描述爲：在發送端根據要傳送的k位二進制碼序列，以一定的規則產生一個校驗用的r位監督碼(CRC碼)，附在原始信息後邊，構成一個新的二進制碼序列數共k+r位，然後發送出去。在接收端，根據信息碼和CRC碼之間所遵循的規則進行檢驗，以確定傳送中是否出錯。這個規則，在差錯控制理論中稱爲“生成多項式”。
（2）應用原理
在代數編碼理論中，將一個碼組表示爲一個多項式，碼組中各碼元當作多項式的係數。例如 1100101 表示爲
1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
設編碼前的原始信息多項式爲P(x)，P(x)的最高冪次加1等於k；生成多項式爲G(x)，G(x)的最高冪次等於r；CRC多項式爲R(x)；編碼後的帶CRC的信息多項式爲T(x)。
發送方編碼方法：將P(x)乘以xr(即對應的二進制碼序列左移r位)，再除以G(x)，所得餘式即爲R(x)。用公式表示爲T(x)=xrP(x)+R(x)。
接收方解碼方法：將T(x)除以G(x)，如果餘數爲0，則說明傳輸中無錯誤發生，否則說明傳輸有誤。
（3）代數舉例
A，舉例來說，設信息碼爲1100，生成多項式爲1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，計算CRC的過程爲：
xrP(x) x3(x3+x2) x6+x5 x -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + -------- G(x) x3+x+1 x3+x+1 x3+x+1
即 R(x)=x。注意到G(x)最高冪次r=3，得出CRC爲010。
B，同樣是上面的條件，如果用豎式除法，計算過程爲：
1110 ------- 1011 /1100000 (1100左移3位) 1011 ---- 1110 1011 ----- 1010 1011 ----- 0010 0000 ---- 010 因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010。如果傳輸無誤，
T(x) x6+x5+x ------ = --------- = x3+x2+x, G(x) x3+x+1
無餘式。回頭看一下上面的豎式除法，如果被除數是1100010，顯然在商第三個1時，就能除盡。
上述推算過程，有助於我們理解CRC的概念。但直接編程來實現上面的算法，不僅繁瑣，效率也不高。實際上在工程中不會直接這樣去
計算和驗證CRC。
（4）常見CRC應用實例
（1）比特型算法
定義一個寄存器組，初始化爲全"1"。每輸入一個信息位，相當於一個時鐘脈衝到來，從高到低依次移位。移位前信息位與bit0相加產生臨時位，其中bit15移入臨時位，bit10、bit3還要加上臨時位。當全部信息位輸入完成後，從寄存器組取出它們的值，這就是CRC碼。
typedef unsigned char bit;
typedef unsigned char byte;
typedef unsigned short u16;
typedef union {
u16 val;
struct {
u16 bit0 : 1;
u16 bit1 : 1;
u16 bit2 : 1;
u16 bit3 : 1;
u16 bit4 : 1;
u16 bit5 : 1;
u16 bit6 : 1;
u16 bit7 : 1;
u16 bit8 : 1;
u16 bit9 : 1;
u16 bit10 : 1;
u16 bit11 : 1;
u16 bit12 : 1;
u16 bit13 : 1;
u16 bit14 : 1;
u16 bit15 : 1;
} bits;
} CRCREGS;
CRCREGS regs; // 寄存器組
void crcInitRegisters() // 初始化CRC寄存器組：移位寄存器置爲全"1"
{
regs.val = 0xffff;
}
void crcInputBit(bit in)
{
bit a;
a = regs.bits.bit0 ^ in;
regs.bits.bit0 = regs.bits.bit1;
regs.bits.bit1 = regs.bits.bit2;
regs.bits.bit2 = regs.bits.bit3;
regs.bits.bit3 = regs.bits.bit4 ^ a;
regs.bits.bit4 = regs.bits.bit5;
regs.bits.bit5 = regs.bits.bit6;
regs.bits.bit6 = regs.bits.bit7;
regs.bits.bit7 = regs.bits.bit8;
regs.bits.bit8 = regs.bits.bit9;
regs.bits.bit9 = regs.bits.bit10;
regs.bits.bit10 = regs.bits.bit11 ^ a;
regs.bits.bit11 = regs.bits.bit12;
regs.bits.bit12 = regs.bits.bit13;
regs.bits.bit13 = regs.bits.bit14;
regs.bits.bit14 = regs.bits.bit15;
regs.bits.bit15 = a;
}
u16 crcGetRegisters() // 輸出CRC碼(寄存器組的值)
{
return regs.val;
}
其中，上面的crcInputBit中一步一步的移位/異或操作，所以函數可以進行簡化：
void crcInputBit(bit in)
{
bit a;
a = regs.bits.bit0 ^ in;
regs.val >>= 1;
if(a)
regs.val ^= 0x8408;
}
（2）比特型算法的實例
下面是一個典型的PPP幀。最後兩個字節稱爲FCS(Frame Check Sequence)，是前面11個字節的CRC。
FF 03 C0 21 04 03 00 07 0D 03 06 D0 3A 。我們來計算這個PPP幀的CRC，並驗證它。
A，計算CRC
byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};
int i,j;
u16 result;
crcInitRegisters(); // 初始化
for(i = 0; i < 11; i++) // 逐位輸入，每個字節低位在先，不包括兩個FCS字節，故11
{
for(j = 0; j < 8; j++)
{
crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1);
}
}
result = ~crcGetRegisters(); // 得到CRC：將寄存器組的值求反
ppp[11] = result & 0xff; // 填寫FCS，先低後高
ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;
可以看到，計算出的CRC等於0x3AD0，與原來的FCS相同。
B，以下驗證FCS
crcInitRegisters(); // 初始化
for(i = 0; i < 13; i++) // 逐位輸入，每個字節低位在先，包括兩個FCS字節
{
for(j = 0; j < 8; j++)
{
crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1);
}
}
result = crcGetRegisters(); // 得到驗證結果
驗證結果等於0。初始化爲全"1"，以及將寄存器組的值求反得到CRC，都是CRC-ITU的要求。事實上，不管初始化爲全"1"還是全"0"，計算CRC取反還是不取反，得到的驗證結果都是0。
（3）字節型算法
比特型算法逐位進行運算，效率比較低，不適用於高速通信的場合。數字通信系統(各種通信標準)一般是對一幀數據進行CRC校驗，而字節是幀的基本單位。最常用的是一種按字節查表的快速算法。該算法基於這樣一個事實：計算本字節後的CRC碼，等於上一字節餘式CRC碼的低8位左移8位，加上上一字節CRC右移8位和本字節之和後所求得的CRC碼。如果我們把8位二進制序列數的CRC(共256個)全部計算出來，放在一個表裏 ，編碼時只要從表中查找對應的值進行處理即可。
下面是通用的CRC-ITU查找表以及計算和驗證CRC的C語言程序：
const u16 crctab16[] = // CRC-ITU查找表
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78,
};
u16 GetCrc16(const byte* pData, int nLength) // 計算給定長度數據的16位CRC。
{
u16 fcs = 0xffff; // 初始化
while(nLength>0)
{
fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];
nLength--;
pData++;
}
return ~fcs; // 取反
}
bool IsCrc16Good(const byte* pData, int nLength) // 檢查給定長度數據的16位CRC是否正確。
{
u16 fcs = 0xffff; // 初始化
while(nLength>0)
{
fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];
nLength--;
pData++;
}
return (fcs == 0xf0b8); // 0xf0b8是CRC-ITU的"Magic Value"
}
（4）字節型算法實例
使用字節型算法，前面出現的PPP幀FCS計算和驗證過程，可用下面的程序片斷實現：
byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};
u16 result;
result = GetCrc16(ppp, 11); // 計算CRC
ppp[11] = result & 0xff; // 填寫FCS，先低後高
ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;
if(IsCrc16Good(ppp, 13)) // 驗證FCS
{
... ...
}
該例中數據長度爲11，說明CRC計算並不要求數據2字節或4字節對齊。
至於查找表的生成算法，以及CRC-32等其它CRC的算法，可參考RFC 1661, RFC 3309等文檔。需要注意的是，雖然CRC算法的本質是一樣的，但不同的協議、標準所規定的初始化、移位次序、驗證方法等可能有所差別。