Sparse Table ST表

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貼一發上官松柏大犇寫的博客。

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ST表（Sparse Table）是能夠區間查詢最值的數據結構，它採用倍增與dp的思想進行維護。

ST表複雜度：

• 空間複雜度O(nlogn)
• 預處理時間複雜度O(nlogn)
• 查詢時間複雜度O(1)

ST表優勢：

• ST表的價值在於用較大的空間複雜度換取的O(1) 的查詢複雜度，與線段樹O(n) ，O(n) ，O(logn) 不同，ST表的查詢部分併入主要部分程序後整體複雜度不會比線段樹高。所以是對程序效率的有效優化。

ST表劣勢：

• 有O(nlogn) 的較大空間複雜度。
• 更新操作比較困難（即一般不支持更新，只能靜態查詢）。

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預處理操作：

如果我們把每個k值當做一層，我們要考慮如何把f[k][i] 用上一層的數據更新覆蓋。採用倍增的思想，我們定義：

• f[k][i] 表示區間[i,i+2k−1] （持續2k 個）的最值。

顯然上一層的覆蓋範圍正好是f[k][i] 的一半，即2k−1 。那麼我們就可以用兩段剛好覆蓋住的區間[i,2k−1−1] 和[i+2k−1,(i+2k−1)+2k−1−1] 來收集結果了：

• f[k][i]=min{f[k−1][i],f[k−1][i+2k−1]}

查詢操作：

同理，我們需要兩個已知的固定區間，能夠覆蓋（可以重合一部分）整個查詢區間。爲了方便查找，我們規定這兩個已知區間覆蓋的區間長度均爲2^k，並且兩個區間分別有一端爲L和R。那麼隨着這個k不斷增大，一定存在一個臨界點k，剛好覆蓋（或最少重合）這個區間。

當k滿足題意時，兩個區間分別爲[L,L+2k−1] 和[R−(2k−1),R] ，此時只需要滿足R−(2k−1)≤L+2k−1 即可，化簡之後推出公式：

• R−L+2≤2k+1，k≥log2(R−L+2)−1

小常數優化：

由於系統計算log非常慢，所以我們可以參考這篇文章對2i 的處理方法，把所有數值的log2()全部打表出來。這裏的時間複雜度只需要O(n) 。

int f[S][M],Log2[M],a[M];

void init(int n){//ST表的預處理
    int s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[0][i]=a[i];
        if(i&(i-1))Log2[i]=s;//刪除最後一位二進制，如果剛好i=1<<t則變成0
        else Log2[i]=s++;
    }
    for(int k=1;(1<<k)<=n;k++)
        for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;i++)
            f[k][i]=min(f[k-1][i],f[k-1][(1<<k-1)+i]);
}

int query(int L,int R){//ST表的查詢
    int k=Log2[R-L+2]-1;
    return min(f[k][L],f[k][R-(1<<k)+1]);
}