模糊理論基礎

集合：

空集： $\empty$
子集： $A\subseteq B$
相等： $A = B$
真子集： $A \subset B$
冪集： $P(X)$ ，X的所有子集的集合

笛卡爾集：

A={a,b} , B={1,2}
$A \times B$ ={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}

關係：

空關係： $\empty$
全關係： $X \times Y$
恆等關係： $I =\{(x,x)| x\in X\}$

等價關係：自反，對稱，傳遞
等價類 [x] ： R是X上的等價關係， $\forall x\in X, [x] = \{y | y \in X,xRy\}$
商集：R的等價類的集合稱爲X關於R的商集， $X/R = \{[x] | x \in X\}$
劃分：商集X/R構成X的一個劃分

關係的三種表達方式：

集合
矩陣
關係圖

映射（函數)

映射（函數):, $f : A\rightarrow B$
映射： $\forall x\in A$ ,都有唯一的 $y\in B$ ，使得 $y=f(x)$
單射：全爲一對一的映射
滿射：B中每個元素都被映射到
雙射：滿射 + 單射

代數系統

設 $f1,f2,...,f_m$ 是S上的m個運算， $(S,f1,f2,...,f_m)$ 稱爲一個代數系統。

+，-， $\times$ 是R上的運算，則 $(R,+,-,\times)$ 是一個代數系統

同態和同構：

格

偏序到格

偏序：自反，反對稱，傳遞
界：上界、下界、上確界 $sup S$ 、下確界 $inf S$

$(P,\leq)$ 是一個偏序集， $S \subseteq P, a \in P$

若 $\forall x \in S,x \leq a$ ，則稱a是S的一個上界

若 $\forall x \in S,x \geq a$ ，則稱a是S的一個下界

a是S的一個最小的上界，則稱a是S的一個上確界

a是S的一個最大的下界，則稱a是S的一個下確界