模糊理论基础

集合：

空集： $\empty$
子集： $A\subseteq B$
相等： $A = B$
真子集： $A \subset B$
幂集： $P(X)$ ，X的所有子集的集合

笛卡尔集：

A={a,b} , B={1,2}
$A \times B$ ={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}

关系：

空关系： $\empty$
全关系： $X \times Y$
恒等关系： $I =\{(x,x)| x\in X\}$

等价关系：自反，对称，传递
等价类 [x] ： R是X上的等价关系， $\forall x\in X, [x] = \{y | y \in X,xRy\}$
商集：R的等价类的集合称为X关于R的商集， $X/R = \{[x] | x \in X\}$
划分：商集X/R构成X的一个划分

关系的三种表达方式：

集合
矩阵
关系图

映射（函数)

映射（函数):, $f : A\rightarrow B$
映射： $\forall x\in A$ ,都有唯一的 $y\in B$ ，使得 $y=f(x)$
单射：全为一对一的映射
满射：B中每个元素都被映射到
双射：满射 + 单射

代数系统

设 $f1,f2,...,f_m$ 是S上的m个运算， $(S,f1,f2,...,f_m)$ 称为一个代数系统。

+，-， $\times$ 是R上的运算，则 $(R,+,-,\times)$ 是一个代数系统

同态和同构：

格

偏序到格

偏序：自反，反对称，传递
界：上界、下界、上确界 $sup S$ 、下确界 $inf S$

$(P,\leq)$ 是一个偏序集， $S \subseteq P, a \in P$

若 $\forall x \in S,x \leq a$ ，则称a是S的一个上界

若 $\forall x \in S,x \geq a$ ，则称a是S的一个下界

a是S的一个最小的上界，则称a是S的一个上确界

a是S的一个最大的下界，则称a是S的一个下确界