2018 CCPC final G.Pastoral Life in Stardew Valley(思路)

2018 CCPC final G.Pastoral Life in Stardew Valley(思路)

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這題一開始只想着對一個求和公式化簡，但是用另一個角度來看這個問題就很簡單了

題意：給一個n行m列，問有多少種方法使得放兩個矩形，且矩形 1 完全包含在矩形 2 內，且邊界之隔最小爲1.

思路：

對於矩形，因爲長寬互不影響，所以問題就化簡爲一個長度爲n的一維格子，有多少種方法選兩個的區間，使得區間1被區間2完全包含且兩區間邊界相隔至少爲1.

區間1的長度的等於1時，那麼就相當於長度爲n的一排格子，選3個不同的格子，其種類數即$C_n^3$

區間1的長度大於1時，那麼相當於長度爲n的一排格子，選4個不同的格子，其種類數爲$C_n^4$

所以總的答案就是$(C_n^4+C_n^3)*(C_m^4+C_m^3)$

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
ll f[N],g[N];
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    int n=1e5;
    f[0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;++i)
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
    g[n]=qpow(f[n],mod-2);
    for(ll i=n-1;i>=0;--i)
        g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if(a < b) return 0;
    return f[a]*g[b]%mod*g[a-b]%mod;
}
ll calc(ll n)
{
    return (C(n,3)+C(n,4))%mod;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    init();
    int t,cas=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n,m;
        cin>>n>>m;
        cout<<"Case "<<++cas<<": "<<calc(n)*calc(m)%mod<<'\n';
    }
    return 0;
}