關於數據結構之樹的一些總結

樹結構中，結點總數（包括根和葉子）=邊數（等於度）+1

1.二叉樹

性質1：對任何一顆二叉樹T，如果其終端節點數爲n0,度爲2的節點數爲n2，則n0 = n2+1;

性質2：具有n個結點的完全二叉樹的深度爲|log2 (n)|+1

二叉樹進行層次遍歷，應藉助一個隊列，二叉樹的先序、中序、後序的非遞歸遍歷需要用到棧。

（1）完全二叉樹

一、葉子結點只可能在最大的兩層上出現,對任意結點，若其右分支下的子孫最大層次爲L，則其左分支下的子孫的最大層次必爲L 或 L+1； 

完全二叉樹的存儲結構通常採用順序存儲結構。

完全二叉樹中，非葉子結點頂多沒有右孩子，沒有左孩子的話，就表示沒有子節點。

對完全二叉樹的編號是由上而下，由左而右進行的，所以若某節點無左孩子，則必然無右孩子。即爲葉子結點。

二、出於簡便起見,完全二叉樹通常採用數組而不是鏈表存儲,其存儲結構如下:

var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}

對於tree[i]，有如下特點：

（1）若i爲奇數且i>1，那麼tree[i]的左兄弟爲tree[i-1]；

（2）若i爲偶數且i<n，那麼tree[i]的右兄弟爲tree[i+1]；

（3）若i>1，tree[i]的雙親爲tree[i div 2]；

（4）若2*i<=n，那麼tree[i]的左孩子爲tree[2*i]；若2*i+1<=n，那麼tree[i]的右孩子爲tree[2*i+1]；

（5）若i>n div 2,那麼tree[i]爲葉子結點（對應於（3））；

（6）若i<(n-1) div 2.那麼tree[i]必有兩個孩子（對應於（4））。

特別地：滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹

完全二叉樹葉子節點的算法

如果一棵具有n個結點的深度爲k的二叉樹，它的每一個結點都與深度爲k的滿二叉樹中編號爲1~n的結點一一對應，這棵二叉樹稱爲完全二叉樹。

可以根據公式進行推導，假設n0是度爲0的結點總數（即葉子結點數），n1是度爲1的結點總數，n2是度爲2的結點總數，由二叉樹的性質可 知：n0＝n2＋1，則n= n0＋n1＋n2（其中n爲完全二叉樹的結點總數），由上述公式把n2消去得：n= 2n0+n1－1，由於完全二叉樹中度爲1的結點數只有兩種可能0或1，由此得到n0＝（n＋1）/2或n0＝n/2，合併成一個公式：n0＝（n＋1） /2 ，就可根據完全二叉樹的結點總數計算出葉子結點數。

哈夫曼樹是一種最優二叉樹，利用哈夫曼樹尋找一顆最佳判定樹，即總的比較次數最少的判定樹。

所以，哈夫曼樹中不存在結點度爲1的結點。

哈夫曼樹不是滿二叉樹，是正則二叉樹（也叫正規二叉樹），其中只有度爲0和度爲2的結點，因爲n0 = n2 + 1，所以n個葉子的正則二叉樹自然只有2n-1個結點。至於滿二叉樹當然也是正則二叉樹的特例。

二叉鏈表

性質1：在n個結點的二叉鏈表中，有n+1個空指針域

利用中序遍歷，並結合先序遍歷或後序遍歷就能重新構造二叉樹（單一遍歷序列無法構造 二叉樹）。

2.AVL平衡二叉樹

定義：平衡二叉樹或爲空樹,或爲如下性質的二叉排序樹:
  （1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;
  （2）左右子樹仍然爲平衡二叉樹.
平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.
平衡二叉樹每個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。

構造與調整方法平衡二叉樹的常用算法有紅黑樹、AVL、Treap、伸展等。最小平衡二叉樹的節點公式如下：F(n) = F(n-1)+F(n-2)+1.

平衡二叉樹的缺點：

插入和刪除運算變得複雜化，從而降低了他們的運算速度。

平衡二叉樹的時間複雜度是log(n)，如果二叉樹的元素個數爲n，那麼不管是對樹進行插入節點、查找、刪除節點都是log(n)次循環調用就可以了。它的時間複雜度相對於其他數據結構如數組等是最優的。

3.RBT紅黑樹

AVL是嚴格平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多；
紅黑是弱平衡的，用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低；
所以簡單說，搜索的次數遠遠大於插入和刪除，那麼選擇AVL樹，如果搜索，插入刪除次數幾乎差不多，應該選擇RB樹。

紅黑樹上每個結點內含五個域，color，key，left，right，p。如果相應的指針域沒有，則設爲NIL。
一般的，紅黑樹，滿足以下性質，即只有滿足以下全部性質的樹，我們才稱之爲紅黑樹：
1）每個結點要麼是紅的，要麼是黑的。
2）根結點是黑的。
3）每個葉結點，即空結點（NIL）是黑的。
4）如果一個結點是紅的，那麼它的倆個兒子都是黑的。
5）對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點。

紅黑樹插入操作的平均時間複雜度爲O（logn）,最壞時間複雜度爲O（logn）;

4.B-樹

       是一種平衡多路搜索樹（並不是二叉的）：

       1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

       2.根結點的兒子數爲[2, M]；

       3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]；

       4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

       5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

       6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的

子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

       8.所有葉子結點位於同一層；

5.B+樹

       B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

       1.其定義基本與B-樹同，除了：

       2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；

       3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹

（B-樹是開區間）；

       5.爲所有葉子結點增加一個鏈指針；

       6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

       如：（M=3）

   B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在

非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好

是有序的；

       2.不可能在非葉子結點命中；

       3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是存儲

（關鍵字）數據的數據層；

       4.更適合文件索引系統；比如對已經建立索引的數據庫記錄，查找10<=id<=20，那麼只要通過根節點搜索到id=10的葉節點，之後只要根據葉節點的鏈表找到第一個大於20的就行了，比B-樹在查找10到20內的每一個時每次都從根節點出發查找提高了不少效率。

B+樹插入操作的平均時間複雜度O（logn）,最壞時間複雜度爲O（logn）;