劍指Offer:跳臺階/變態跳臺階(動態規劃解法)

這兩題從動態規劃的角度思考，按照動態規劃的解題框架進行分析，非常的簡單和清晰。

跳臺階

1. 題意

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。

2. 分析

2.1 確定狀態

2.1.1 最後一步

• 先不管前面是是如何跳躍的，最後一定會跳躍到臺階n
• 根據題目的描述，青蛙只可能從臺階n-1或者臺階n-2跳躍到臺階n
• 那麼如果我知道了有多少種跳法能跳到臺階n-1和臺階n-2，那麼跳到臺階n的跳法自然也就出來了，就是二者之和

2.1.2 子問題

• 原問題是求，有多少種跳法跳到臺階n
• 現在要解決這個原問題，只需要知道有多少種跳法跳到臺階n-1和臺階n-2
• 問題不變，但問題規模變小了，那麼狀態也就定義出來了
• f[i]表示有幾種跳法能夠跳到臺階i，最後返回f[n]即是答案

2.2 狀態轉移方程

$f[i] = f[i-1] + f[i-2]（i > 1）$

2.3 初始值和邊界條件

• $f[0] = 1,跳到臺階0只有一種跳法，那就是不跳$
• $f[1] = 1,跳到臺階1，也只有一種跳法，那就是跳1級$

2.4 計算順序

• $f[0,1,2,........n]$
• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(n)，因爲只需要開一個長度爲n+1的數組

3. 代碼

  public int JumpFloor(int target) {

        int[] f = new int[target + 1];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= target ; i++) {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        return f[target];
    }

變態跳臺階

1. 題意

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

2.分析

2.1 確定狀態

2.1.1 最後一步

• 與上題完全一樣，不管前面怎麼跳，最後一定能跳到臺階n
• 根據題意，一隻青蛙可以跳上1級、2級…n級臺階
• 那麼最後一步跳到臺階n的就可能是臺階n-1,臺階n-2...............臺階0
• 那麼我只需要知道跳到臺階n-1、臺階n-2、.......、臺階0各有多少種跳法，跳到臺階n的跳法也就是他們之和

2.1.2 子問題

• 原問題是求，有多少種跳法跳到臺階n
• 現在要解決這個原問題，只需要知道有多少種跳法跳到臺階n-1、臺階n-2、.......臺階0
• 問題不變，但問題規模變小了，那麼狀態也就定義出來了
• f[i]表示有幾種跳法能夠跳到臺階i，最後返回f[n]即是答案

2.2 轉移方程

$f[i] = f[i-1] + f[i-2] + .... + f[0]$

2.3 邊界條件和初始值

• $f[0] = 1,跳到臺階0只有一種跳法，那就是不跳$
• $f[1] = 1,跳到臺階1，也只有一種跳法，那就是跳1級$

2.4 計算順序

• 同上
• 時間複雜度

3. 代碼

public int JumpFloorII(int target) {
        int[] f = new int[target +1];
        //0層不跳也是一種跳法
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= target ; i++) {
            for (int j = i -1;j >= 0; j-- ){
                f[i] += f[j];
            }
        }
        return f[target];
    }