本文是算法系列遞歸講解中講述dfs的第二篇, 在上一篇: [算法系列]搞懂DFS(1)——經典例題(數獨遊戲, 部分和, 水窪數目)圖文詳解中, 已經通過三個例題講述了dfs的思路以及設計方法, 本文先歸納常見dfs套路, 總結一般思路, 之後再通過兩個經典例題(n皇后, 素數環) 進行鞏固加深.
1. dfs常見模式
dfs本質上來說是對解空間所有解的一種枚舉(遍歷) , 但與暴力搜索所不同的是, 在進行求解時, 會優先考慮**“一條道走到黑, 不撞男牆不回頭”(深度優先)** 進行遍歷, 參考下面這幅圖.
上圖是一顆解答樹, 你可以想成每一個結點都是我們在求解過程中的每一個 狀態 ,比如在上篇的數獨遊戲中:
- a 結點表示初始狀態,
- b 結點表示在第一個位置選了一個數字(例如1)的狀態,
- c結點表示在第一個位置選了另一個數字(例如2)
- e 結點表示在第一個位置上選了1之後, 再進一步於第二個位置選上一個數字(例如2)
從a -> b, b->e, g->f 這樣在結點只見轉移的我們稱之爲: 狀態轉移 其中,a->b相當於試探,e->b相當於回溯
現在我們來好好談談回溯:
回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱爲“回溯點”。
圖中的e點就是一個走不下去的點,此時就只好回到b狀態(如紅色數字3),注意,此時這個位置理應也應當置爲0,選上下一個選優條件,進行下一次試探.(在數獨遊戲中, 從1~9逐次選擇數字就是一種選優條件,1不行咱選2,…)
道理就那麼多,接下來看看dfs的思路:
- 定義狀態: 通常狀態就是我們所謂的函數及其參數, 每一個狀態的區分關鍵在於參數內容不同
- 狀態轉移: 在於遞歸調用的過程,如上圖的那些箭頭
- 優選條件:按照怎樣的一個規則去進行狀態轉移, 比如數獨遊戲中我們是從1~9由小到大逐個試探
那麼再從遞歸問題的設計思路來看看dfs應該怎麼解答:
- 找出口: 即通常所說的最小條件, 有時也是邊界條件
- 找重複:對於當前問題的解法,應該是和子問題解法相同的,這一點不再贅述
- 找變化:在遞歸中有狀態轉移,往往就有變化的量(否則怎麼能叫求解呢?)這一點通常將其作爲參數
好了: 現在可以發揮想象力,大概寫出dfs的僞代碼:
dfs(參數1,參數2,參數3,...):
if 邊界條件:
//副作用,比如添加到解集中
return
從候選集中按照選優條件取出一個 e:
if e 符合條件:
這裏可能改變狀態,比如填上一個數字
dfs(參數1,參數2,參數3,...) //這裏某些參數可能會變,以表示到達下一個狀態,比如dfs(arr,x+1,y+1)
回溯,將剛剛的改變復位
這是大概模式,具體實現是要根據問題進行修改.下面來看看兩道經典的題
2. n皇后問題
'''
n 皇后問題
在n×n格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個皇后。
按照國際象棋的規則，皇后可以攻擊與之處在同一行或同一列或同一斜線上的棋子。
即n後問題等價於再n×n的棋盤上放置n個皇后，任何2個皇后不妨在同一行或同一列或同一斜線上。
輸入 n, 返回解法的個數
'''
如圖爲一個皇后的攻擊範圍:
如圖爲一個8皇后的解的狀態:
任何兩個皇后不在同一行同一列同一斜線上, 那麼這樣的解的狀態有幾種呢?
思路:
dfs唄,思路暴力而簡單, 先在第一行放一個queue,再在下一排放下一個滿足條件的q…以此類推,如果發現實在放不動了則回溯,尋找上一次的狀態的下一個合法位置, 所有位置都不行則再次回溯…
狀態確立很簡單,即當前哪些位置上擺了queue, 現在需要考慮的是如何存儲這一狀態. 顯然,二維數組是可以的,但是這有一個更爲巧妙的存儲方法: 用一個長度爲n的一維數組rec,對應下標爲對應行數,其相應值爲放上queue的縱座標位置. 例如:
- rec[-100,-100,-100,-100,-100,-100,-100,-100,] 表示所有位置都沒有queue
- rec[0,-100,-100,-100,-100,-100,-100,-100,] 表示第一行第一列行一個queue
- rec[0,6,3,5,7,1,4,2,] 表示即爲上圖這個合法結果
有了前面的基礎,僞代碼就不上了:
res = []#存放最終結果的list, 裏面存放的每個正確結果的rec
def n_queue(n):
rec = [-100] *n #存放解, rec[i]表示第i行的皇后放在第rec[i]上
dfs_n_queue(rec,0) #從第0行開始
print(res)
def dfs_n_queue(rec, row):
if row == len(rec): # 如果達到邊界,即所有行都移填上
rec_cp = rec.copy()
res.append(rec_cp) #res中加入rec的克隆
return
for y in range(0 , len(rec)): # 對當前行的每一列進行試探
if check(rec, row, y): # 判斷每行每列每斜線,若沒有第二個,則check返回true
rec[row] = y # 檢查成功,rec[row]=y 表示row+1行y+1列放入皇后
dfs_n_queue(rec, row + 1)#狀態轉移到下一個位置
rec[row ]= -100 # 均不合法,返回上一層前將該位置恢復
# 判斷合法的函數
def check(rec , x, y):
for i in range(0 , len(rec)):
#判斷同行 如果行數相同,跳過
if i == x :
continue
#判斷同列:
if rec[i] == y:
return False
#判斷主對角線 比如 (0,0)和(1,1) =>橫縱座標差相等
if rec[i] - i == y-x:
return False
#判斷副對角線 比如 (1,1)和(0,2) =>橫縱座標和相等
if rec[i] + i == y + x:
return False
return True
n_queue(4)
# print: [[1, 3, 0, 2], [2, 0, 3, 1]]
3. 素數環
'''
輸入正整數n,對1-n進行排列, 使得相
輸出時從整數1開始,逆時針排列,同一個環應該恰好輸出1次鄰兩個數之和均爲質數
n<=16
如輸入:6
輸出:
1 4 3 2 5 6
1 6 5 2 3 4
'''
很顯然也是可以用dfs進行求解的. 從第二個數開始, 對其左右兩邊進行求和(右邊無數字則不求解)比如:
1,2 ... [滿足]
1,2,3 ... [滿足]
1,2,3 ... [滿足]
1,2,3,4 ... [滿足]
1,2,3,4,5 ... [不滿足,回溯]
1,2,3,4,6,... [不滿足,回溯]
1,2,3,4 ... [沒有更多選擇,繼續回溯]
1,2,3, ... [沒有更多選擇,繼續回溯]
1,2,5, ...
...
由上我們可以看到, 我們在求解過程中,實際上的思路的和暴力枚舉有類似之處的.bingo, 其實從另一種角度來說, dfs的本質就是暴力枚舉. 不過不同在於,我們一邊列舉,一邊進行驗證: 當發現1,2,3,4,5,已經不滿足了,就沒必要繼續把6寫上去,而進行回溯.
傳統的暴力枚舉是將所有串全部寫出, 再來判斷是否滿足情況. 即該題中: 6位長度的串有6!中寫法… 對空間要求過多.
也沒有必要把整個串寫完整再進行判斷,比如1,2,3… 無論後面無論怎麼填均不合法, 這可以直接pass了. 更爲省時.
而將不滿足的直接pass, 將整個解答樹直接pass, 就是我們常常說的 剪枝 了. 當進入一個不可能爲解的境地, 直接返回.
好了, 按照dfs模式和遞歸設計思路. 下面直接上代碼
def zhishu_circle(n):
rec = [0] * n #定義狀態數組, 即上述的[1,2,3...]
rec[0] = 1
dfs_zhishu_circle(n, rec, 1) # rec[0]固定爲1,從下標爲1開始
def dfs_zhishu_circle(n,rec,cur):
if cur == n: #當前行到達邊界,所有數字填完,得到結果
print(rec)
return
for tem in range(2 , n +1): #對2~n+1按順序進行選擇試探
if check_zhishu(n,rec,cur,tem): #如果滿足題目要求
rec[cur] = tem
dfs_zhishu_circle(n, rec ,cur+1)
rec[cur] = 0 # 均不滿足, 返回時恢復
def check_zhishu(n , rec, cur,tem):
for i in range(0, cur):
if rec[i] == tem : #這個數字當然取兩遍
return False
res_l = check_zhishu_core(rec[cur - 1] + tem) #判斷左邊和質數
if (rec[(cur+1) % n] == 0): #如果右邊沒填, 不考慮右邊
res_r = True
else: #否則也要考慮右邊相鄰和
res_r =check_zhishu_core(tem + rec[(cur + 1) % n])
return res_l and res_r
import math
#判斷k是否爲質數
def check_zhishu_core(k):
for i in range(2, k):
if (k % i == 0):
return False
return True
關於dfs 還有其他的介紹,比如圖算法的一些內容, 樹裏面其他應用也是比較常見,不過在遞歸專題中,介紹到這裏差不多啦.
如果對具體代碼實現上(比如狀態轉移, 回溯)有一些問題的小夥伴可以倒回去看上一篇文章, 應該就能理解了.
接下來的文章將介紹 貪心, 動態規劃等問題. 這兩個和現在以及之前談論話題的關係也極爲緊密.
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