PCA的Python實現

本文主要參考下面的文章，文中的代碼基本是把第二篇文章的代碼手寫實現了一下。
- pca講解：http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020209.html
- python實現：http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42177327

總體代碼

"""
總的代碼.
Func: 對原始的特徵矩陣進行降維, lowDataMat爲降維之後返回新的特徵矩陣。
Usage: lowDDataMat = pca(dataMat, k)
"""
# 零均值化
def zeroMean(dataMat):
    # 求各列特徵的平均值
    meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
    newData = dataMat - meanVal
    return newData, meanVal
def pca(dataMat,k):  
    newData,meanVal=zeroMean(dataMat)  
    covMat=np.cov(newData,rowvar=0)    #求協方差矩陣,return ndarray；若rowvar非0，一列代表一個樣本，爲0，一行代表一個樣本  

    eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特徵值和特徵向量,特徵向量是按列放的，即一列代表一個特徵向量  
    eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #對特徵值從小到大排序  
    k_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(k+1):-1]   #最大的k個特徵值的下標  
    k_eigVect=eigVects[:,k_eigValIndice]        #最大的k個特徵值對應的特徵向量  
    lowDDataMat=newData*k_eigVect               #低維特徵空間的數據
    return lowDDataMat
#     reconMat=(lowDDataMat*k_eigVect.T)+meanVal  #重構數據  
#     return lowDDataMat,reconMat  

下面逐步來實現PCA

（0）先準備好數據

import numpy as np

# n維的原始數據，本例中n=2。
data = np.array([[2.5,2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7],\
                 [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]])
print data

[[ 2.5  2.4]
 [ 0.5  0.7]
 [ 2.2  2.9]
 [ 1.9  2.2]
 [ 3.1  3. ]
 [ 2.3  2.7]
 [ 2.   1.6]
 [ 1.   1.1]
 [ 1.5  1.6]
 [ 1.1  0.9]]

（1）零均值化

# (1)零均值化
def zeroMean(dataMat):
    # 求各列特徵的平均值
    meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
    newData = dataMat - meanVal
    return newData, meanVal
newData, meanVal = zeroMean(data)
print 'the newData is \n', newData
print 'the meanVal is \n', meanVal

the newData is 
[[ 0.69  0.49]
 [-1.31 -1.21]
 [ 0.39  0.99]
 [ 0.09  0.29]
 [ 1.29  1.09]
 [ 0.49  0.79]
 [ 0.19 -0.31]
 [-0.81 -0.81]
 [-0.31 -0.31]
 [-0.71 -1.01]]
the meanVal is 
[ 1.81  1.91]

（2）對各維特徵的協方差矩陣

# （2）求協方差矩陣，rowvar=036表示每列對應一維特徵
covMat = np.cov(newData, rowvar=0)
print covMat
# 若rowvar=1表示沒行是一維特徵，每列表示一個樣本，顯然咱們的數據不是這樣的
# covMat2 = np.cov(newData, rowvar=1)
# print covMat2

[[ 0.61655556  0.61544444]
 [ 0.61544444  0.71655556]]

（3）求（2）中的協方差矩陣的特徵值和特徵向量

# （3）求協方差矩陣的特徵值和特徵向量，利用numpy中的線性代數模塊linalg中的eig函數
eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))
print '特徵值爲：\n', eigVals
print '特徵向量爲\n', eigVects

特徵值爲：
[ 0.0490834   1.28402771]
特徵向量爲
[[-0.73517866 -0.6778734 ]
 [ 0.6778734  -0.73517866]]

上面的結果中：
特徵值爲：

[ 0.0490834 1.28402771]

特徵向量爲

[[-0.73517866 -0.6778734 ]

[0.6778734 -0.73517866]]

特徵值0.0490834對應的特徵向量是第一列（-0.73517866 0.6778734）^T

（4）降維到k維（k < n）

# （4）保留主要的成分，將特徵值按照從大到小的順序排序，選擇其中最大的k個，然後將對應的k個特徵向量分別作爲列向量組成的特徵向量矩陣。
# 比如本例子中保留1.28402771對應的特徵向量（-0.6778734 -0.73517866）^T
k = 1 # 此例中取k = 1
eigValIndice = np.argsort(eigVals) # 從小到大排序
n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(k+1):-1] # 取值最大的k個下標
n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice] # 取對應的k個特徵向量
print n_eigVect
print n_eigVect.shape
lowDataMat = newData*n_eigVect # 低維特徵空間的數據
reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal # 重構數據，得到降維之後的數據
print '將樣本點投影到選取的低維特徵向量上,實際使用的是這個結果作爲新的特徵：\n', lowDataMat
print '降維之後的樣本:\n', reconMat

[[-0.6778734 ]
 [-0.73517866]]
(2L, 1L)

將樣本點投影到選取的低維特徵向量上,實際使用的是這個結果作爲新的特徵：

[[-0.82797019]
 [ 1.77758033]
 [-0.99219749]
 [-0.27421042]
 [-1.67580142]
 [-0.9129491 ]
 [ 0.09910944]
 [ 1.14457216]
 [ 0.43804614]
 [ 1.22382056]]
降維之後的樣本:
[[ 2.37125896  2.51870601]
 [ 0.60502558  0.60316089]
 [ 2.48258429  2.63944242]
 [ 1.99587995  2.11159364]
 [ 2.9459812   3.14201343]
 [ 2.42886391  2.58118069]
 [ 1.74281635  1.83713686]
 [ 1.03412498  1.06853498]
 [ 1.51306018  1.58795783]
 [ 0.9804046   1.01027325]]

降維之後的樣本:

[[ 2.37125896 2.51870601]
[ 0.60502558 0.60316089]
[ 2.48258429 2.63944242]
[ 1.99587995 2.11159364]
[ 2.9459812 3.14201343]
[ 2.42886391 2.58118069]
[ 1.74281635 1.83713686]
[ 1.03412498 1.06853498]
[ 1.51306018 1.58795783]
[ 0.9804046 1.01027325]]
原始樣本：
[[ 2.5 2.4]
[ 0.5 0.7]
[ 2.2 2.9]
[ 1.9 2.2]
[ 3.1 3. ]
[ 2.3 2.7]
[ 2. 1.6]
[ 1. 1.1]
[ 1.5 1.6]
[ 1.1 0.9]]
通過比較可以看出，通過降維之後我們成功地實現了特徵從二維降到了一維,降維之後會和原始數據有一定的變化，
我們可以認爲通過這種方式消除了一部分的噪聲（當然實際上很可能損失了部分真實信息）。
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利用sklearn實現PCA

• 參考博文：http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42192293

# 原始數據
data = np.array([[2.5,2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7],\
                 [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]])
# print data

# 好吧，就是這麼簡單
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=1)
new_feature = pca.fit_transform(data)
print new_feature

[[-0.82797019]
[ 1.77758033]
[-0.99219749]
[-0.27421042]
[-1.67580142]
[-0.9129491 ]
[ 0.09910944]
[ 1.14457216]
[ 0.43804614]
[ 1.22382056]]