方陣的特徵值與特徵向量-學習筆記

僅供學習使用

設$A$是$n$階矩陣，如果數$λ$和$n$維非零列向量$x$，使得關係式$Ax=λx$成立，那麼，這樣的係數$λ$稱爲矩陣$A$的特徵值，非零向量$x$稱爲$A$的對應於特徵值λ的特徵向量。

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例5

例5：求矩陣$A=\begin{pmatrix}3 & -1 \\-1 &3 \end{pmatrix}$的特徵值和特徵向量。

解：
$A$的特徵多項式爲
$|A-λE|=\begin{vmatrix}3-λ & -1 \\-1 & 3-λ \end{vmatrix}$
$=(3-λ)^{2}-1=8-6λ+λ^2$
$=(2-λ)(4-λ)=0$
所以$λ_{1}=2$，$λ_{2}=4$。

• 當$λ_{1}=2$時，對應的特徵向量滿足
  $\begin{pmatrix}3-2 & -1 \\-1 & 3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix}$
  即
  $\begin{pmatrix}1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix}$
  解得$x_{1}=x_{2}$，所以對應的特徵向量可取爲$p_{1}=\begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix}$

• 當$λ_{2}=4$時，對應的特徵向量滿足
  $\begin{pmatrix}3-4 & -1 \\-1 & 3-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix}$
  即
  $\begin{pmatrix}-1 & -1 \\-1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix}$
  解得$x_{1}=-x_{2}$，所以對應的特徵向量可取爲$p_{1}=\begin{pmatrix}-1 \\1 \end{pmatrix}$

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例6

例6：求矩陣$A=\begin{pmatrix}-1 & 1 &0 \\-4 & 3 &0 \\1 &0 &2 \end{pmatrix}$的特徵值和特徵向量。

解：
$A$的特徵多項式爲
$|A-λE|=\begin{vmatrix}-1-λ & 1 &0 \\-4&3-λ &0 \\ 1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}$
$=(-1-λ)(3-λ)(2-λ)+4(2-λ)$
$=(2-λ)[(1+λ)(λ-3)+4]$
$=(2-λ)(λ-3+λ^2-3λ+4)$
$=(2-λ)(λ^2-2λ+1)$
$=(2-λ)(λ-1)^2$
所以$A$的特徵值 $λ_{1}=2$，$λ_{2}=λ_{3}=1$。

• 當$λ_{1}=2$時，對應的特徵向量滿足
  $\begin{pmatrix}-3 & 1 &0 \\-4 &1 &0 \\1 &0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix}$
  即
  $\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\0 &1 &0 \\0 &0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix}$
  得基礎解系$p_{1}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$

• 當$λ_{2}=λ_{3}=1$時，對應的特徵向量滿足
  $\begin{pmatrix}-2 & 1 &0 \\-4 &2 &0 \\1 &0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix}$
  即
  $\begin{pmatrix}1 & 0 &1 \\0 &1 &2 \\0 &0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix}$
  得基礎解系$p_{1}=\begin{pmatrix}-1 \\-2 \\1 \end{pmatrix}$

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例7

求矩陣
$A=\begin{pmatrix}-2 &1&1\\0&2&0\\-4&1&3 \end{pmatrix}$的特徵值和特徵向量。

按照行列式，解得特徵值 $λ_{1}=λ_{2}=2, λ_{3}=-1$

• 當$λ_{1}=λ_{2}=2$時，解方程$(A-2E)x=0$，
  即
  $\begin{pmatrix}-4 &1&1\\0&0&0\\-4&1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}=0$
  求得基礎解系
  $p_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}, p_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
• 當$λ_{3}=-1$時，解方程$(A+E)x=0$，
  即
  $\begin{pmatrix}-1 &1&1\\0&3&0\\-4&1&4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}=0$
  亦即
  $\begin{pmatrix}1 &0&-1\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}=0$
  可得到基礎解系：
  $p_{1}=\begin{pmatrix}\\1\\0\\1\end{pmatrix}$