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设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x,使得关系式Ax=λx成立,那么,这样的系数λ称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
例5
例5:求矩阵A=(3−1−13)的特征值和特征向量。
解:
A的特征多项式为
∣A−λE∣=∣∣∣∣3−λ−1−13−λ∣∣∣∣
=(3−λ)2−1=8−6λ+λ2
=(2−λ)(4−λ)=0
所以λ1=2,λ2=4。
-
当λ1=2时,对应的特征向量满足
(3−2−1−13−2)(x1x2)=(00)
即
(1−1−11)(x1x2)=(00)
解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为p1=(11)
-
当λ2=4时,对应的特征向量满足
(3−4−1−13−4)(x1x2)=(00)
即
(−1−1−1−1)(x1x2)=(00)
解得x1=−x2,所以对应的特征向量可取为p1=(−11)
例6
例6:求矩阵A=⎝⎛−1−41130002⎠⎞的特征值和特征向量。
解:
A的特征多项式为
∣A−λE∣=∣∣∣∣∣∣−1−λ−4113−λ0002−λ∣∣∣∣∣∣
=(−1−λ)(3−λ)(2−λ)+4(2−λ)
=(2−λ)[(1+λ)(λ−3)+4]
=(2−λ)(λ−3+λ2−3λ+4)
=(2−λ)(λ2−2λ+1)
=(2−λ)(λ−1)2
所以A的特征值 λ1=2,λ2=λ3=1。
-
当λ1=2时,对应的特征向量满足
⎝⎛−3−41110000⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
即
⎝⎛100010000⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
得基础解系p1=⎝⎛001⎠⎞
-
当λ2=λ3=1时,对应的特征向量满足
⎝⎛−2−41120001⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
即
⎝⎛100010120⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
得基础解系p1=⎝⎛−1−21⎠⎞
例7
求矩阵
A=⎝⎛−20−4121103⎠⎞的特征值和特征向量。
按照行列式,解得特征值 λ1=λ2=2,λ3=−1
- 当λ1=λ2=2时,解方程(A−2E)x=0,
即
⎝⎛−40−4101101⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=0
求得基础解系
p1=⎝⎛104⎠⎞,p2=⎝⎛01−1⎠⎞
- 当λ3=−1时,解方程(A+E)x=0,
即
⎝⎛−10−4131104⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=0
亦即
⎝⎛100010−100⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=0
可得到基础解系:
p1=⎝⎛101⎠⎞