机器学习 - 算法模型 - 聚类

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聚类

聚类

分类（class）与聚类（cluster）不同，分类是有监督学习模型，聚类属于无监督学习模型。聚类讲究使用一些算法把样本划分为n个群落。一般情况下，这种算法都需要计算欧氏距离。

欧氏距离即欧几里得距离。
$P(x_1) - Q(x_2): |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} \\ P(x_1,y_1) - Q(x_2,y_2): \sqrt{x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ P(x_1,y_1,z_1) - Q(x_2,y_2,z_2): \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \\$
用两个样本对应特征值之差的平方和之平方根，即欧氏距离，来表示这两个样本的相似性。

K均值算法

第一步：随机选择k个样本作为k个聚类的中心，计算每个样本到各个聚类中心的欧氏距离，将该样本分配到与之距离最近的聚类中心所在的类别中。

第二步：根据第一步所得到的聚类划分，分别计算每个聚类的几何中心，将几何中心作为新的聚类中心，重复第一步，直到计算所得几何中心与聚类中心重合或接近重合为止。

注意：

聚类数k必须事先已知。借助某些评估指标，优选最好的聚类数。
聚类中心的初始选择会影响到最终聚类划分的结果。初始中心尽量选择距离较远的样本。

K均值算法相关API：

import sklearn.cluster as sc
# n_clusters: 聚类数
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
# 不断调整聚类中心，知道最终聚类中心稳定则聚类完成
model.fit(x)
# 获取训练结果的聚类中心
centers = model.cluster_centers_

案例：加载multiple3.txt，基于K均值算法完成样本的聚类。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
x = np.loadtxt('../data/multiple3.txt', delimiter=',')
# K均值聚类器
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_
n = 500
l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n),
                     np.linspace(b, t, n))
flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()))    
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
# pred_y = model.predict(x)
pred_y = model.labels_	# 每个预测样本的类别标签(副产品)
mp.figure('K-Means Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('K-Means Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=1)
mp.show()

图像量化

KMeans聚类算法可以应用于图像量化领域。通过KMeans算法可以把一张图像所包含的颜色值进行聚类划分，求每一类别的平均值后再重新生成新的图像。可以达到图像降维的目的。这个过程称为图像量化。图像量化可以更好的保留图像的轮廓，降低机器识别图像轮廓的难度。

案例：

import numpy as np
import scipy.misc as sm
import scipy.ndimage as sn
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp


# 通过K均值聚类量化图像中的颜色
def quant(image, n_clusters):
    x = image.reshape(-1, 1)
    model = sc.KMeans(n_clusters=n_clusters)
    model.fit(x)
    y = model.labels_
    centers = model.cluster_centers_.ravel()
    return centers[y].reshape(image.shape)


original = sm.imread('../data/lily.jpg', True)
quant4 = quant(original, 4)
quant3 = quant(original, 3)
quant2 = quant(original, 2)
mp.figure('Image Quant', facecolor='lightgray')
mp.subplot(221)
mp.title('Original', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(original, cmap='gray')
mp.subplot(222)
mp.title('Quant-4', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(quant4, cmap='gray')
mp.subplot(223)
mp.title('Quant-3', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(quant3, cmap='gray')
mp.subplot(224)
mp.title('Quant-2', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(quant2, cmap='gray')
mp.tight_layout()
mp.show()

均值漂移算法

首先假定样本空间中的每个聚类均服从某种已知的概率分布规则，然后用不同的概率密度函数拟合样本中的统计直方图，不断移动密度函数的中心(均值)的位置，直到获得最佳拟合效果为止。这些概率密度函数的峰值点就是聚类的中心，再根据每个样本距离各个中心的距离，选择最近聚类中心所属的类别作为该样本的类别。

均值漂移算法的特点：

聚类数不必事先已知，算法会自动识别出统计直方图的中心数量。
聚类中心不依据于最初假定，聚类划分的结果相对稳定。
样本空间应该服从某种概率分布规则，否则算法的准确性会大打折扣。

均值漂移算法相关API：

# 量化带宽，决定每次调整概率密度函数的步进量
# n_samples：样本数量
# quantile：量化宽度（直方图一条的宽度）
bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.1)
# 均值漂移聚类器
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True)
model.fit(x)

案例：加载multiple3.txt，使用均值漂移算法对样本完成聚类划分。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp

x = np.loadtxt('../data/multiple3.txt', delimiter=',')
# 量化带宽，决定每次调整概率密度函数的步进量
bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.2)
# 均值漂移聚类器
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True)
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_
n = 500
l,  r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
b,  t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n),
                     np.linspace(b, t, n))
flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()))
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
pred_y = model.predict(x)
mp.figure('Mean Shift Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('Mean Shift Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=1)
mp.show()

凝聚层次算法

首先假定每个样本都是一个独立的聚类，如果统计出来的聚类数大于期望的聚类数，则从每个样本出发寻找离自己最近的另一个样本，与之聚集，形成更大的聚类，同时令总聚类数减少，不断重复以上过程，直到统计出来的聚类数达到期望值为止。

凝聚层次算法的特点：

聚类数k必须事先已知。借助某些评估指标，优选最好的聚类数。
没有聚类中心的概念，因此只能在训练集中划分聚类，但不能对训练集以外的未知样本确定其聚类归属。
在确定被凝聚的样本时，除了以距离作为条件以外，还可以根据连续性来确定被聚集的样本。

凝聚层次算法相关API：

# 凝聚层次聚类器
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4)
pred_y = model.fit_predict(x)

案例：重新加载multiple3.txt，使用凝聚层次算法进行聚类划分。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
x = np.loadtxt('../data/multiple3.txt', delimiter=',')
# 凝聚层次聚类器
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4)
pred_y = model.fit_predict(x)
mp.figure('Agglomerative Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('Agglomerative Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
mp.show()

在确定被凝聚的样本时，除了以距离作为条件以外，还可以根据连续性来确定被聚集的样本。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.neighbors as nb
import matplotlib.pyplot as mp
n_samples = 500
x = np.linspace(-1, 1, n_samples)
y = np.sin(x * 2 * np.pi)
n = 0.3 * np.random.rand(n_samples, 2)
x = np.column_stack((x, y)) + n
# 无连续性的凝聚层次聚类器
model_nonc = sc.AgglomerativeClustering( linkage='average', n_clusters=3)
pred_y_nonc = model_nonc.fit_predict(x)
# 近邻筛选器
conn = nb.kneighbors_graph( x, 10, include_self=False)
# 有连续性的凝聚层次聚类器
model_conn = sc.AgglomerativeClustering(
    linkage='average', n_clusters=3, connectivity=conn)
pred_y_conn = model_conn.fit_predict(x)
mp.figure('Nonconnectivity', facecolor='lightgray')
mp.title('Nonconnectivity', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_nonc, cmap='brg', alpha=0.5, s=30)
mp.figure('Connectivity', facecolor='lightgray')
mp.title('Connectivity', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_conn, cmap='brg', alpha=0.5, s=30)
mp.show()

轮廓系数

好的聚类：内密外疏，同一个聚类内部的样本要足够密集，不同聚类之间样本要足够疏远。

轮廓系数计算规则：针对样本空间中的一个特定样本，计算它与所在聚类其它样本的平均距离a，以及该样本与距离最近的另一个聚类中所有样本的平均距离b，该样本的轮廓系数为(b-a)/max(a, b)，将整个样本空间中所有样本的轮廓系数取算数平均值，作为聚类划分的性能指标s。

轮廓系数的区间为：[-1, 1]。 -1代表分类效果差，1代表分类效果好。0代表聚类重叠，没有很好的划分聚类。

轮廓系数相关API：

import sklearn.metrics as sm
# v：平均轮廓系数
# metric：距离算法：使用欧几里得距离(euclidean)
v = sm.silhouette_score(输入集, 输出集, sample_size=样本数, metric=距离算法)

案例：输出KMeans算法聚类划分后的轮廓系数。

# 打印平均轮廓系数
print(sm.silhouette_score( x, pred_y, sample_size=len(x), metric='euclidean'))

DBSCAN算法

从样本空间中任意选择一个样本，以事先给定的半径做圆，凡被该圆圈中的样本都视为与该样本处于相同的聚类，以这些被圈中的样本为圆心继续做圆，重复以上过程，不断扩大被圈中样本的规模，直到再也没有新的样本加入为止，至此即得到一个聚类。于剩余样本中，重复以上过程，直到耗尽样本空间中的所有样本为止。

DBSCAN算法的特点：

事先给定的半径会影响最后的聚类效果，可以借助轮廓系数选择较优的方案。
根据聚类的形成过程，把样本细分为以下三类：

外周样本：被其它样本聚集到某个聚类中，但无法再引入新样本的样本。

孤立样本：聚类中的样本数低于所设定的下限，则不称其为聚类，反之称其为孤立样本。

核心样本：除了外周样本和孤立样本以外的样本。

DBSCAN聚类算法相关API：

# DBSCAN聚类器
# eps：半径
# min_samples：聚类样本数的下限，若低于该数值，则称为孤立样本
model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5)
model.fit(x)

案例：修改凝聚层次聚类案例，基于DBSCAN聚类算法进行聚类划分，选择最优半径。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.metrics as sm
import matplotlib.pyplot as mp

x = np.loadtxt('../data/perf.txt', delimiter=',')
epsilons, scores, models = np.linspace(0.3, 1.2, 10), [], []
for epsilon in epsilons:
    # DBSCAN聚类器
    model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5)
    model.fit(x)
    score = sm.silhouette_score(
        x, model.labels_, sample_size=len(x), metric='euclidean')
    scores.append(score)
    models.append(model)
scores = np.array(scores)
best_index = scores.argmax()
best_epsilon = epsilons[best_index]
print(best_epsilon)
best_score = scores[best_index]
print(best_score)
best_model = models[best_index]

案例：获取核心样本、外周样本、孤立样本。并且使用不同的点型绘图。

best_model = models[best_index]
pred_y = best_model.fit_predict(x)
core_mask = np.zeros(len(x), dtype=bool)
core_mask[best_model.core_sample_indices_] = True
offset_mask = best_model.labels_ == -1
periphery_mask = ~(core_mask | offset_mask)
mp.figure('DBSCAN Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('DBSCAN Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
labels = best_model.labels_
mp.scatter(x[core_mask][:, 0], x[core_mask][:, 1], c=labels[core_mask], 
           cmap='brg', s=80, label='Core')
mp.scatter(x[periphery_mask][:, 0], x[periphery_mask][:, 1], alpha=0.5,
           c=labels[periphery_mask], cmap='brg', marker='s', s=80, label='Periphery')
mp.scatter(x[offset_mask][:, 0], x[offset_mask][:, 1],
           c=labels[offset_mask], cmap='brg', marker='x', s=80, label='Offset')
mp.legend()
mp.show()

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K均值算法

图像量化

均值漂移算法

凝聚层次算法

轮廓系数

DBSCAN算法

Python 內建模塊之 - time時間模塊

機器學習 - 概述

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機器學習 - 算法模型 - 參數調整 - 驗證曲線 | 學習曲線

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