三角形的四心

$$ 打比賽遇到一道外心的題(HDU - 6206)，不去搜板子，根本不會，所以打算總結一下三角形的四心。

$$ 給出三角形的三個點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3);∠A,∠B,∠C$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3);\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ 的對邊分別爲a,b,c$a,b,c$ 。

重心：

$$ 定義：三條中線的交點。·常用G$G$ 表示。
$$
$$性質：
$$ 1. 重心座標G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

point GravityCenter(point A, point B, point C) {
    double Gx = (A.x + B.x + C.x) / 3;
    double Gy = (A.y + B.y + C.y) / 3;
    return point(Gx, Gy);
}

$$ 2. AG=2GD,BG=2GE,CG=2FG$AG=2GD,BG=2GE,CG=2FG$
$$ 3. S△AGC=S△AGB=S△BGC$S_{\mathrm{△}AGC}=S_{\mathrm{△}AGB}=S_{\mathrm{△}BGC}$
$$ 4. GA→+GB→+GC→=0⃗ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$$ 性質4證明：

外心：

$$ 定義：三條中垂線的交點，常用O$O$ 來表示。
$$
$$性質：
$$ 1. 外心座標：有點複雜，，，
$$ 設外心座標爲O(x0,y0)$O(x_0,y_0)$ ，外接圓半徑爲r$r$ 。那麼外接圓的方程就爲(x−x0)2+(y−y0)2=r2$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$ 。
$$ 由此可得：

⎧⎩⎨⎪⎪(x1−x0)2+(y1−y0)2=r2(x2−x0)2+(y2−y0)2=r2(x3−x0)2+(y3−y0)2=r2(1)(2)(3)$$\{\begin{array}{ll}(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2=r^2& \text{(1)}\\ (x_2-x_0{)}^2+(y_2-y_0{)}^2=r^2& \text{(2)}\\ (x_3-x_0{)}^2+(y_3-y_0{)}^2=r^2& \text{(3)}\end{array}$$

$$ (1)−(2)，(2)−(3)$(1)-(2)，(2)-(3)$ ，化簡之後可得：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(x1−x2)x0+(y1−y2)y0=(x21−x22)+(y21−y22)2(x1−x3)x0+(y1−y3)y0=(x21−x23)+(y21−y33)2$$\{\begin{array}{l}(x_1-x_2)x_0+(y_1-y_2)y_0=\frac{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}{2}\\ \\ (x_1-x_3)x_0+(y_1-y_3)y_0=\frac{(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^3)}{2}\end{array}$$

$$ 令：
$$ a=(x1−x2)b=(y1−y2)$a=(x_1-x_2)b=(y_1-y_2)$
$$ c=(x1−x3)d=(y1−y3)$c=(x_1-x_3)d=(y_1-y_3)$

$$ e=(x21−x22)+(y21−y22)2f=(x21−x23)+(y21−y33)2$e=\frac{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}{2}f=\frac{(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^3)}{2}$

$$ 運用簡單的線性代數知識(好像是叫克拉默法則)，即可求得：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x0=ed−bfad−bcy0=af−cead−bc$$\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{ed-bf}{ad-bc}\\ \\ y_0=\frac{af-ce}{ad-bc}\end{array}$$

$$ 將相應字母代入，可得(公式太長……$\dots \dots$ )：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0=(y1−y3)[(x21−x22)+(y21−y22)]−(y1−y2)[(x21−x23)+(y21−y23)]2[(x1−x2)(y1−y3)−(x1−x3)∗(y1−y2)]y0=(x1−x2)[(x21−x23)+(y21−y23)]−(x1−x3)[(x21−x22+(y21−y22)]2[(x1−x2)(y1−y3)−(x1−x3)∗(y1−y2)]$$\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{(y_1-y_3)\left[(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)\right]-(y_1-y_2)\left[(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^2)\right]}{2\left[(x_1-x_2)(y_1-y_3)-(x_1-x_3)\ast (y_1-y_2)\right]}\\ \\ y_0=\frac{(x_1-x_2)\left[(x_1^2-x_3^2)+(y_1^2-y_3^2)\right]-(x_1-x_3)\left[(x_1^2-x_2^2+(y_1^2-y_2^2)\right]}{2\left[(x_1-x_2)(y_1-y_3)-(x_1-x_3)\ast (y_1-y_2)\right]}\end{array}$$

$$ 還是代碼來得實在：

point CircumCenter(point A, point B, point C) {
    double d = 2 * ((A.x - B.x) * (A.y - C.y) - (A.x - C.x) * (A.y - B.y));         //分母

    double a = (A.y - C.y) * ((A.x * A.x - B.x * B.x) + (A.y * A.y - B.y * B.y));   //Ox的分子
    a = a - (A.y - B.y) * ((A.x * A.x - C.x * C.x) + (A.y * A.y - C.y * C.y));

    double b = (A.x - B.x) * ((A.x * A.x - C.x * C.x) + (A.y * A.y - C.y * C.y));   //Oy的分子
    b = b - (A.x - C.x) * ((A.x * A.x - B.x * B.x) + (A.y * A.y - B.y * B.y));

    double Ox = a / d;
    double Oy = b / d;
    return point(Ox, Oy);
}

$$ 我還從一本書上看到另外一種求法，比較簡潔，但不太懂：

point CircumCenter(point A, point B, point C) {
    double a1 = B.x - A.x, b1 = B.y - A.y, c1 = (a1 * a1 + b1 * b1) / 2;
    double a2 = C.x - A.x, b2 = C.y - A.y, c2 = (a2 * a2 + b2 * b2) / 2;
    double d = a1 * b2 - a2 * b1;
    double Ox = A.x + (b2 * c1 - b1 * c2) / d;
    double Oy = A.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;
    return point(Ox, Oy);
}

$$ 2. ∠A=12∠BOC,∠B=12∠AOC,∠C=12∠AOB$\mathrm{\angle }A=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOC,\mathrm{\angle }B=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOC,\mathrm{\angle }C=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB$



$$ 在說垂心之前，先說一個歐拉的定理：三角形外心O$O$ 、重心G$G$ 、垂心H$H$ 三點共線，且OG:GH=1:2$OG:GH=1:2$(此直線叫做歐拉線)
$$ 證明：，，，，，，△OGM∼△HGA$\mathrm{△}OGM\sim \mathrm{△}HGA$
$$
$$ 所以，若已知三角形外心O$O$ 、重心G$G$ 、垂心H$H$ 三點中任意兩點的座標，都可求得第三點的座標。

垂心：

$$ 定義：三條垂線的交點，常用H$H$ 表示。
$$
$$性質：
$$ 1. 垂心座標：H(3Gx−2Ox,3Gy−2Oy)$H(3G_x-2O_x,3G_y-2O_y)$
$$ ps:其實也可以想外心那樣推，，，，要是喫飽了沒事幹，

point VerticalCenter(point A, point B, point C) {
    return 3.0 * GravityCenter(A, B, C) - 2.0 * CircumCenter(A, B, C);
}

內心：

$$ 定義：三條角平分線的交點，常用I$I$ 表示。
$$
$$性質：
$$ 1.內心座標：I(ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c)$I(\frac{a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3}{a+b+c},\frac{a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3}{a+b+c})$

point InternalCenter(point A, point B, point C) {
    double a = dis(B, C);
    double b = dis(A, C);
    double c = dis(A, B);
    double Ix = (a * A.x + b * B.x + c * C.x) / (a + b + c);
    double Iy = (a * A.y + b * B.y + c * C.y) / (a + b + c);
    return point(Ix, Iy);
}

$$ 2. 點I$I$ 是△ABC$\mathrm{△}ABC$ 的內心 ⇔$\iff$ aIA→+bIB→+cIC→=0⃗ $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$$ 證明：先略，，，
$$ 2. P$P$ 爲平面任意一點，有PI→=aPA→+bPB→+cPC→a+b+c$\overrightarrow{PI}=\frac{a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}}{a+b+c}$
$$ 證明：先略，，，

$$ 再說一個歐拉的定理：
$$ △ABC$\mathrm{△}ABC$ 外心爲O$O$ ，內心爲I$I$ ，R和r$R和r$ 分別爲外接圓和內接圓的半徑，則有：
$$ |OI→|2=R2−2Rr$|\overrightarrow{OI}{|}^2=R^2-2Rr$
$$
△IMC∼△DBH$\mathrm{△}IMC\sim \mathrm{△}DBH$