窮舉算法實現百元買百筆
一、 窮舉算法原理
窮舉也稱枚舉，是最常用的算法之一，它的基本思想是—列舉各種可能進行的測試，從中找出符合條件的解。計算機能夠實現高速運算，是由於它藉助於循環結構實現窮舉，它比人工操作更爲有效。
儘管計算機能夠實現高速運算，但設計窮舉算法時，仍希望儘量縮小窮舉的規模。或者說，在保證思路嚴謹、清晰、有條理、不漏解的前提下，儘量減少窮舉的規模。
二、算法實現
一百元買一百隻筆，其中鋼筆5元一根，圓珠筆3元一根，鉛筆1元三根。
首先設鋼筆買i只，圓珠筆買j只，鉛筆買k只。
i、j、k循環次數都爲0—100.
代碼實現
int i,j,k,count=0;
for(i=0;i<=100;i++)
{
for(j=0;j<=100;j++)
{
for(k=0;k<=100;k++)
{
if(5*i+3*j+k/3==100&&i+j+k==100)
System.out.println("鋼筆i="+i+" 圓珠筆j="+j+" 鉛筆k="+k);
count+=1;
}
}
}
System.out.println("總循環了"+count+"次");
運行結果
結果分析
-
循環次數太多，若將此類循環寫入一個大型腳本語言中，勢必會增加計算機的負擔；
-
鉛筆一元買三根，卻運行結果中出現了除不盡3的數，顯然是忽略了某些條件導致結果錯誤。
優化代碼
int i,j,k,count=0;
for(i=0;i<=100;i++)
{
for(j=0;j<=100;j++)
{
for(k=0;k<=100;k=k+3)
{
if(5*i+3*j+k/3==100&&i+j+k==100)
System.out.println("鋼筆i="+i+" 圓珠筆j="+j+" 鉛筆k="+k);
count+=1;
}
}
}
System.out.println("總循環了"+count+"次");
運行結果
結果分析
-
運行結果正確；
-
循環次數仍然太多，應在取值範圍上進行壓縮。
優化代碼
當買0只鋼筆時，j=25、k=75
當買0只圓珠筆時，i=14、k=86
而86%3！=0，即最多隻能買84只鉛筆，此時鋼筆應爲12，圓珠筆應爲4。
int i,j,k,count=0;
for(i=0;i<=12;i++)
{
for(j=4;j<=25;j++)
{
for(k=75;k<=84;k=k+3)
{
if(5*i+3*j+k/3==100&&i+j+k==100)
System.out.println("鋼筆i="+i+" 圓珠筆j="+j+" 鉛筆k="+k);
count+=1;
}
}
}
System.out.println("總循環了"+count+"次");
運行結果
結果分析
- 循環次數較多。
優化代碼
觀測結果可知，鉛筆每次多買三根，此時買鋼筆和圓珠筆的錢可多出一元。而鋼筆和圓珠筆每次的數量應減少三。
54=20 37=21
得出結論：鋼筆以每四隻變化，而圓珠筆以每七根變化。
int i,j,k,count=0;
for(i=0;i<=12;i=i+4)
{
for(j=4;j<=25;j=j+7)
{
for(k=75;k<=84;k=k+3)
{
if(5*i+3*j+k/3==100&&i+j+k ==100)
System.out.println("鋼筆i="+i+" 圓珠筆j="+j+" 鉛筆k="+k);
count+=1;
}
}
}
System.out.println("總循環了"+count+"次");
運行結果
拓展
將三重循環進行壓縮
int i,j,k,count=0;
for(k=75;k<=86;k=k+3)
{
j=200-14*k/6;
i=100-k-j;
System.out.println("鋼筆i="+i+" 圓珠筆j="+j+" 鉛筆k="+k);
count+=1;
}
System.out.println("總循環了"+count+"次");
運行結果
運行結果顯示正確，且只循環了四次！
總結
窮舉法雖然對計算機來說很容易，計算機可以實現一秒百萬級次的運算，但是如若在大型程序中，可以將多個幾百萬次的循環語句進行壓縮到幾次、幾十次，那麼將可以大大增加計算機的運行效率，減少了計算機的負擔也節省了空間。