目前人工智能分爲：大數據智能，跨媒體智能，羣體智能，混合增強智能，自主無人系統五類，若想要深入羣體智能則圖論的基礎是非常必要的！

一、引言

1.1、專業詞彙：

distributed network：分佈式網絡 distributed multiagent network：分佈式多智能體網絡

boids model：柏茲模型（類鳥型） topology：拓撲結構 directed undirected：有向、無向

separation：分隔 alignment：對準 cohesion：內聚

velocity：速率，速度 flocking：羣集 formation：編隊

robotic network：機器人網絡 resolution：分辨率

1.2、圖基交互模型

1.2.1、網絡科學關注原因

（1）大量的學科（尤其生物及材料科學）需要對元素間的交互對於多層級系統所扮演的角色有更深層次的理解

（2）科技的發展促進了綜合網絡工程系統的能力

1.2.2、Boids Model

boids model由Reynolds結合計算機圖形和動畫提出，這個模型嘗試去尋找社會中鳥羣、獸羣在集羣中排列他們的方式。並提出了以下重要的協議：

（1）分隔原則（separation）：羣體內所有個體有避免相互碰撞的趨勢

（2）對準原則（alignment）：羣體內個體與其相鄰個體速度保持一致的趨勢

（3）內聚原則（cohesion）：羣體內所有個體有趨向鄰近個體的趨勢

根據以上原則，雜亂的方向的圖形一段時間後變爲右圖

1.2.3、網絡系統的組成及挑戰

（1）網絡系統的組成：

動態單元（dynamic units）：彼此之間能夠傳遞和發送信息；

信號交換網絡（signal exchange network）：能夠通過有線或者無線協議實現信息交換；

（2）網絡系統所遇到的挑戰：

系統理論不得不混合信息網絡數學；

面臨跨學科結合，如網絡幾何學；

1.2.4、通過局部交互的信息交換

（1）局部通信

局部通信目前收到以下兩點的約束

信息交換頻道：傳送和接受信息需要能量，因此只有在有限範圍能夠接受信息，在網絡中可通過中間節點來擴大傳遞範圍；

可靠的帶寬：如果許多機構同時傳播大量的數據，交互頻道將會飽和並且會導致通信系統急速的惡化。因此，爲了滿足帶寬要求信息交換應保持過分節儉的。

（2）局部感知

a、視覺傳感器（vision-based sensor）：能夠有很長的有效範圍，但爲鍥型幾何區域；

b、範圍傳感器（range sensor）：如聲吶、激光雷達（sonars，laser scanners）等，不同傳感器有着不同的分辨率和有效範圍，爲環形全方向；

1.2.5、圖基交互模型（graph-based interaction models）

交互幾何圖形將在多智能體網絡系統的分析和綜合中扮演重要角色,能夠讓我們集中研究拓撲結構內部連接所起到的作用

一個具有全方向範圍傳感器機構網絡其相應的機構和交互邊顯示在下圖中:

edge（邊）：可描述爲能使信息在邊連接的頂點之間傳遞，分爲有向和無向（directed or undirected）,其中有向是帶箭頭的單向，而無向是指無箭頭的雙向；

根據邊可能的消失和再現分爲三類：靜態、動態和隨機網絡（Static, Dynamic, and Random Networks）

靜態網絡：邊是靜態的，即非時變；

動態，狀態相關網絡：邊集可能是時變的，邊可能由於網絡機構狀態的功能消失或再現；

隨機網絡：由特別的動態網絡組成，邊是概率發佈而非確定性發佈。

二、圖論

2.1、專業詞彙

vertex：頂點 subset：子集 subgraph：子圖 adjacent vertex：鄰接節點 Connected graph：連通圖 connected component：連通分量 Isomorphic：同構 boundary：邊界 closure：閉合 degree：度 matrix:度 Degree matrix：度矩陣 adjacency matrix：鄰接矩陣 spectral：譜

2.2、圖的相關概念

2.2.1、圖、邊、點的表示

一個有限的，無向的簡單圖（或簡稱爲圖）是建立在一個有限點集上的，即具有有限數量元素的集合。

將該集稱爲頂點集，用V表示，那麼{ $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ }的每個元素就是圖的頂點。

現在考慮由 ${[V]}^{2}$ 表示的V的2個元素子集的集合。這個集合由以下形式的元素{ $v_{i},v_{j}$ }，其中，且 $i\neq n$ .有限圖定義爲,其中V是頂點的有限集合，E是 ${[V]}^{2}$ 邊的集合。我們有時將圖的頂點和邊稱爲和，並簡化邊{ $v_{i},v_{j}$ }爲 $v_{i}v_{j}$ 或。

圖本質上是一個理論對象的集合，但是，它可以方便地以圖形表示。圖由“點”（如頂點 $v_{i}$ ）以及點之間的線構成。這種圖形表示形式引導了許多關於圖的定義，見解和觀察。例如，當頂點vi和vj之間存在邊時，我們稱它們爲鄰接的(adjacent)，並用 $v_{i}\sim v_{j}$ 表示這種關係。在這種情況下，邊 $v_{i}v_{j}$ 被稱爲與頂點 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 的入射（incident）。下圖給予了一個無向圖的例子，，{ $v_{1},v_{2},...,v_{5}$ }，{ $v_{1}v_{2},v_{2}v_{3},v_{3}v_{4},v_{3}v_{5},v_{2}v_{5},v_{4}v_{5}$ }

頂點 $v_{i}$ 的鄰接點集合 $N(i)\subseteq V$ ，可理解爲集合{ $v_{j}\in V | v_{i}v_{j}\in E$ }。如果 $v_{j}\subseteq N(i)$ 同時可得到 $v_{i}\subseteq N(j)$ ，則可知邊是雙向的，可知爲一個無向圖。鄰接的概念可隨着圖的邊"移動"。一系列不同的節點構成一個長度爲m的路徑（path）：

$v_{i_{0}},v_{i_{1}},...,v_{i_{m}}$

設定對於頂點 $v_{i_{k}}$ 和 $v_{i_{k+1}}$ 是鄰接的。則 $v_{i_{0}}$ 和 $v_{i_{m}}$ 被稱爲路徑的終點； $v_{i_{1}},v_{i_{2}},...,v_{i_{m-1}}$ 被稱爲內部頂點。當路徑的兩個終點爲同一個頂點，該路徑稱爲循環。 沒有循環的圖稱爲森林。

如果對於圖中的每一對頂點，均有一條使這兩個點爲終點的一條路徑，則稱圖爲連通的（connected）。如果不存在此情形則稱爲非連通（disconnected）。如在上圖中即爲連通的。將一個連通圖稱爲一個連通分量（connected component），一個分量爲圖的一個子集。對於一個非連通圖存在超過一個連通分量。具有一個分量的深林(forest)稱爲樹（tree）。（連通分量：是聯通的子圖，其中子圖中含有最大頂點數）

無標籤圖（Unlabeld）：爲了更清楚的表述圖中的邏輯結構，刪除各頂點的明確身份信息；

標籤圖（Labeld）：將無標籤圖重新給予身份，下面分別爲無標籤和標籤圖：

同構（isomorphic）：對於兩個圖和 $G^{'}=(V^{'},E^{'})$ ，如果擁有相同的點集和邊集稱爲同構，記爲： $G\simeq G^{'}$

完全圖（complete graph）：每一個頂點均鄰接任何一個其他頂點

路徑圖（path graph）：與上訴彼此鄰接的 $v_{i_{0}},v_{i_{1}},...,v_{i_{m}}$ 同構

環形圖（cycle graph）：路徑形成閉環

下圖中分別爲完全圖和路徑圖

2.2.2、子圖及子圖運算

（1）子圖及生成子圖（生成樹及生成森林）

子圖（subgraph）：和其一個字集 $S \subseteq V$ ，產生的子圖記爲 $G_{s}=(S,E_{S})$ ,其中 $E_{s}=$ {{ $v_{i},v_{j}$ } $\in E | v_{i}, v_{j}\in S$ }。也就是子圖S中的點和邊均爲G中存在的，如下圖中所對應的a、b圖。

事實上對於 $G^{'}=(V^{'},E^{'})$ 是的子圖，當 $V \subseteq V^{'}$ 和 $E\subseteq E^{'}$ 時，也稱爲 $G^{'}$ 的子圖。如果對於一個子圖如果 $V = V^{'}$ ，可以被定義爲一個生成子圖（spanning subgraph），對於圖的生成樹同是也是圖的生成子圖。

生成樹（spanning tree）：包含連通圖中所有的頂點；任意兩頂點之間有且僅有一條通路；

生成森林（forest）：生成樹是對應連通圖來說，而生成森林是對應非連通圖來說的。非連通圖可分解爲多個連通分量，而每個連通分量又各自對應多個生成樹（至少是 1 棵），因此與整個非連通圖相對應的，是由多棵生成樹組成的生成森林。

圖a中包含有子圖b；c爲b的邊界圖（boundary），即爲與子圖b存在邊的點和其夠成的邊；圖d爲子圖b的閉合圖（closure），即爲子圖b與其邊界圖的結合。

（2）子圖中的操作

邊圖：

閉合圖：

2.2.3、圖概念中的其它定義

（1）賦權圖（weighted graphs）：如果圖G中的每一條邊都相應地賦有一個數值 $w_{ij}$ ，則稱G爲賦權圖，記爲G = (V,E,w)。

（2）有向圖（digraphs）：如下圖當給圖中的邊賦予方向，即變爲有向圖，記爲。其中( $v_{i},v_{j}$ )表示i爲箭頭的尾部，j爲箭頭的頭部，即爲指向j的箭頭方向。

（3）強連接（strongly connected）：有向圖中任意兩點 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 滿足 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 以及 $v_{j}$ 到 $v_{i}$ 都連通（非邊），相反則爲弱連接（weakly connected）

上圖中V = {v1,v2,v3,v4}，邊集爲{(v1,v3),(v1,v2),(v4,v3)}

2.3、圖和矩陣

上訴中，確立了圖形用頂點和邊的表述形式，下面將會建立圖形和矩陣的表述形式。

2.3.1、鄰接矩陣和度

對於一個無向圖G，其內在頂點 $v_{i}$ 的度(degree)，表示爲d( $v_{i}$ )，其值爲鄰接點集N(i)的基數，即爲vi在G中鄰接頂點數的個數。下圖中d( $v_{1}$ )=1, d( $v_{2}$ )=3, d( $v_{3}$ )=3, d( $v_{4}$ )=2, d( $v_{5}$ )=3