從一條同餘基本定理講到歐拉定理
參考使用資料爲清華大學出版社的《信息安全數學基礎教程(第2版)》(許春香)
前言
最近在複習密碼學，遇到了一些不太懂的理論，遂又把之前的基礎教程拿出來複習。俗話說，溫故而知新，重新審視之前忽視的細節和思考一些定理，竟收穫良多。在這裏寫一篇博客，權當讀書筆記，同時向各位學習此內容的網友分享我的角度和見解。本篇主要想解釋歐拉定理的證明過程，全篇內容是按照一個詳細思考過程來記敘的，可能較爲繁瑣累贅，請見諒。
從最簡單的定理說起
學習同餘，就離不開學習它的計算規則。何爲同餘？字面理解就是對某個整數擁有相同餘數的一對數字。那麼書上在P16頁的5個定理中有了這樣的一條：
如果ac≡bc(mod m),且(c,m)=1,則a≡b(mod m)
看似理所當然的結論，其實暗含天機。我們可以這樣來理解這個表達式：
先假設存在a mod m，b mod m，和整數c。現在有ac≡bc(mod m)。我們繪製一個簡陋的圖：
[····a········b········][······················][······················] …
圖中將數軸分割成一個個大小爲m的完全剩餘系，剩餘系中的元素用·表示，並特別標註a和b在剩餘系中的位置（假設a<b）。那麼再來表示ac和bc：
[······················]…[·············ac·········]…[·············bc·········] …
根據前提的條件，此時ac和bc是同餘的，也就是說，bc-ac可以被m整除。用公式表示爲：m|bc-ac.
這說明，a和b的距離擴大c倍後可以被m整除，即m|(b-a)c，以此得出以下幾種可能性：(b-a)和m互素、c和m互素、(b-a)和c*和m都不互素。否則不能被m整除。
於此，選擇c和m互素的條件，就會得到一個很有用的結論：(b-a)可以整除m，於是：a≡b(mod m)。
這條結論放在之前介紹，是因爲這僅僅作爲一個引子，或者一個工具存在。無論多麼複雜的體系，多麼偉大的結論，都是在這些簡單且看似微不足道的基礎理論上構建而成。只有在這個過程中，似乎才能體會到它們的奇幻、神祕和波瀾壯闊。
來說一說簡化剩餘系
這裏要從倆個方面來敘述這個問題：一是什麼是簡化剩餘系，二是爲什麼要提出簡化剩餘系。
首先第一個問題：什麼是簡化剩餘系？
這裏引用教材原話：
如果一個模m的剩餘類裏面的數與m互素，則稱它爲與模m互素的剩餘類。從與模m互素的每個剩餘類中各取一個數構成的集合稱爲模m的一個簡化剩餘系。
通俗理解就是，拿出每個剩餘類裏和m互素的數字，組成個集合就是簡化剩餘系。此外，其數字個數爲歐拉函數φ(m)。
那麼，爲什麼要提出這個東西來呢？從後續的劇情來看，這個東西在歐拉定理裏佔了舉足輕重的一環。人們創造出這個概念的時候，也許是察覺到了互素的特殊性帶來的一些性質，於是希望創建一個天生具有該性質的羣，將其變成在一個集合內泛用的前提。基於這種特殊性，一些神奇的性質漸漸被髮掘出來，其中就有引出歐拉定理的“罪魁禍首”：
定理6-3 設a是一個整數且(a,m)=1。如果x跑遍模m的一個簡化剩餘系，則ax也跑遍模m的簡化剩餘系。
“如果x跑遍模m的一個簡化剩餘系”說明x是一個簡化剩餘系的任意一員。翻譯成大白話就是，對於一個簡化剩餘系裏的每一個數，同乘上一個和m互素的數，最後結果也必定還是m的一個簡化剩餘系。
看似理所當然，其實並不理所當然。爲什麼要乘一個和m互素的數？首先根據定理，(a,c)=1，(b,c)=1，則(ab,c)=1，所以ax必然是一個簡化剩餘系裏的元素，但難道就不會出現兩個同餘的結果嗎？
有趣的是，證明過程就用到了最基本的結論。上面說了， 如果ac≡bc(mod m),且(c,m)=1,則a≡b(mod m)。由於a是與m互素的數，滿足了條件，所以如果出現ax1 ≡ax2(mod m)的情況，那麼x1 ≡x2(mod m)。很明顯，在一個簡化剩餘系裏，是不可能出現2個同餘的數字的，所以由ax可以構成簡化剩餘系。
至此，一切準備工作就緒，誰能想到，這些簡單至極的理論將會引出將來對密碼學產生如此重要作用的歐拉定理呢？
Origin：歐拉定理
我想說，歐拉定理作爲一個結論，從來不復雜，作爲密碼學等相關領域的繼承者，也許學會如何使用比理解起源更重要、更省力氣。然而，不去了解本質的理論是空洞的，只有摸索和探求定理的誕生和成熟的過程，纔會真正認識到其精彩之處。
歐拉定理：
設m是正整數，如果(r,m)=1，則r^φ(m)≡1(mod m)。
翻譯過來就是：簡化剩餘系裏任意一個元素，其最多φ(m)次冪的模m爲1。簡單粗暴的結論。一點都不拖泥帶水。其數論上的證明過程有趣且玄幻：
到這裏還算中規中矩。利用了上述的定理，說明了在簡化剩餘系中，同乘任意一個元素，還是會得到簡化剩餘系。
然而接下來筆鋒一轉：
將新得到的簡化剩餘系的每個元素相乘。然而之後的證明行雲流水，一氣呵成：
到這裏，似乎似曾相識。沒錯，在這裏又要用到基本定理了：
如果ac≡bc(mod m),且(c,m)=1,則a≡b(mod m)
一切又回到了起點：