藍橋杯2n皇后問題
問題
問題描述
給定一個n*n的棋盤，棋盤中有一些位置不能放皇后。現在要向棋盤中放入n個黑皇后和n個白皇后，使任意的兩個黑皇后都不在同一行、同一列或同一條對角線上，任意的兩個白皇后都不在同一行、同一列或同一條對角線上。問總共有多少种放法？n小於等於8。
輸入格式
輸入的第一行爲一個整數n，表示棋盤的大小。
接下來n行，每行n個0或1的整數，如果一個整數爲1，表示對應的位置可以放皇后，如果一個整數爲0，表示對應的位置不可以放皇后。
輸出格式
輸出一個整數，表示總共有多少种放法。
樣例輸入
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
樣例輸出
2
樣例輸入
4
1 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
樣例輸出
0
分析
首先們要知道八皇后問題是怎麼解決的。我們通過遞歸回溯的方法，利用生成器爲棋盤上的每一個棋子進行排序，然後將合法的數據記錄下來。其中的yield函數可能不好理解，我們在下面介紹它
yield
這個就是生成器，有這個的函數，產生的結果將會作爲可迭代對象調用。當函數遇到yield之後會停止運行，注意，函數只是停止了而沒有結束，這個和return是不一樣的。yield前面的功能和參數依然可以調用，參與計算。
我們來看下面的例子：
def generate():
yield 1
yield 2
這個函數我們可以把它抽象成[1,2]沒錯，他就是通過yield變成了可迭代對象，但它不同於列表，我們在這裏只是想讓讀者更好地明白這個yield到底在幹什麼。
現在我們先不說2n皇后，我們把重心先放在八皇后。
八皇后問題python解決
def conflict(queen_lis, new_queen):
"""判斷棋子是否符合規則"""
for index, queen in enumerate(queen_tup):
if abs(new_queen - queen) in (len(queen_tup) - index, 0): # 判斷表達式：垂直距離和水平距離
# 列數之差是否等於行數之差，或者列數之差爲零
# 注意，len(queen_tup)是行數。因爲第一行不進入循環，所以，這裏的行數要比len出來的值加一，也就是，len(queen_tup)如果等於3，那麼對應的是第四行
# 對應的，index也是要加一的。
return False
return True
def arrange_queen(num, queen_lis=[]):
"""
:param num:棋盤的的行數，當然數值也等於棋盤的列數
:param queen_tup: 設置一個空隊列，用於保存符合規則的棋子的信息
"""
for new_queen in range(num): # 遍歷一行棋子的每一列
if conflict(queen_tup, new_queen): # 判斷是否衝突
if len(queen_tup) == num - 1: # 判斷是否是最後一行
yield [new_queen] # yield關鍵字，返回當前的位置。
else:
# 若果不是最後一行，遞歸函數接着放置棋子
for result in arrange_queen(num, queen_lis + [new_queen]):# 結果的迭代
yield [new_queen] + result # 這個是每個函數最終的地方。
for i in arrange_queen(4):
print(i)
讀者可以看代碼旁的註釋進一步的理解，我在這再解釋一下這個遞歸回溯到底是怎麼最終產生結果的：
當函數的conflict函數返回True之後，我們會判斷這個是不是在排棋盤中的最後一行，如果是的話，就說明前面三行已經排好，並且，最後一行也是合法的，這個時候，最後一次遞歸結束，並將結果返回給上一層遞歸，上一層遞歸收到返回值之後把它作爲了可迭代對象傳給result，然後此時的new_queen就是上一層函數的參數，result就是最後一層遞歸返回的結果。相加後又yield給了上上層遞歸。這個就是回溯的過程。
讀者可能會疑惑，棋盤明明是二維數組，爲什麼這裏產生的結果都是一維的，這裏我做解釋：
我們這行數是通過遞歸來判斷的，也就是說我們通過遞歸的次數來代替了行數，每遞歸一次行數就加一，同時通過返回queen_lis的長度來判斷當前到了第幾行，因爲queen_lis裏面加一個參數，就說明這個參數是合法的，此時參數保留，只要不是最後一層，那麼就會進入下一次遞歸，同時這個參數就被加到了queen_lis裏面。所以這個列表的長度就是我們要的行數。這個行數的判斷極其的重要，因爲之後另一個皇后的判斷，我們又要利用到當前的行數。
上面是以四乘四的棋盤爲例子舉例的，瞭解以上的方法後，我們這個八皇后問題就解決了。
現在我們來探討2n皇后
2n皇后解決方案和解釋
代碼
nums = eval(input())
n = 0
list_empty = []
while n < nums:
hang = [int(i) for i in input().split()]
list_empty.append(hang)
n +=1
def conflict(queen_list,new_queen,black=None):
num = len(queen_list)
try:
col = black[num]
except:
pass
try:
if len(black) != 0:
if new_queen == col:
return True
except:
pass
if list_empty[num][new_queen] == 0:
return True
for index,queen in enumerate(queen_list):
if abs(new_queen-queen) in (0,num-index):
return True
return False
def queen(num, queen_list=[]):
for new_queen in range(num):
if not conflict(queen_list, new_queen):
if len(queen_list) == num -1:
yield [new_queen]
else:
for result in queen(num,queen_list+[new_queen]):
yield [new_queen]+result
black_queen = list(queen(nums))
def queen_white(num,black,queen_list=[]):
for new_queen in range(num):
if not conflict(queen_list,new_queen,black):
if len(queen_list) == num -1:
yield [new_queen]
else:
for result in queen_white(num,black,queen_list+[new_queen]):
yield [new_queen]+result
end_num = []
sum = 0
for black in black_queen:
white_queens = list(queen_white(nums,black))
if len(white_queens)==0:
continue
end_num.append(len(white_queens))
for i in end_num:
sum +=i
print(sum)
現在，我們先排黑皇后再排白皇后。此時，我們需要兩個排列皇后的函數，但是判斷衝突的條件也要改一下，來適應和白皇后不同的衝突需求。
我們先排好黑皇后，將黑皇后的位置信息保存在black_queen裏面，接下來，我們開始排白皇后的位置，注意，白皇后位置的總和，就是題目的答案，這個應該很好理解，因爲是在黑皇后位置的基礎上，如此。
在上面的代碼中，我們在conflict函數裏面加了一個black，這個就是黑皇后的位置參數。我們通過在衝突判斷函數中傳入black參數，從而可以判斷當前白皇后的位置是否和黑皇后的位置衝突。
同時，我們加了個棋盤是否爲0的判斷，用來判斷當前位置是否合法。
queen_white中我也傳入了black參數，就是爲了不用每次都定義一遍衝突函數，直接在調用排序的時候就可以自動傳入參數。
接下來，就是通過for循環，將黑皇后的位置不停地傳入判斷黑皇后的位置函數裏面，排序白皇后。
最後，將排序下來的次數存入到空列表中，最後把它們相加，最終打印出來。
我們發現，這2n皇后的解決，是基於八皇后的思想基礎上的，代碼上也就加了一個黑皇后位置參數判斷，和棋盤合法性判斷，其它並沒有什麼實質性的改變。
讀者可能注意到了裏面有異常處理，原因是因爲本來應該是定義兩個衝突函數的，但是這裏我把他們合併了，變成了一個，所以，black一開始是空的，所以加了個異常處理。