Unity中的数学基础——向量

一：概念

——向量也称为矢量，是具有大小和方向的量(零向量比较特殊，是唯一一个大小为0并且没有方向的向量)。向量的大小(长度)称为模，长度为1的向量称为单位向量
——书写向量时，水平书写的向量([1,2,3])叫做行向量，垂直书写的向量叫做列向量

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二：点与向量的关系

点代表了一个位置，他没有大小和方向的概念。而向量具有大小和方向的概念。Unity中的transform.position代表了一个点，它不具有方向。transform.forward代表了一个向量，它代表了当前物体在世界座标z轴上的指向。但是他们在Unity中都是通过(x,y,z)来表示的

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三：向量的几种关系

——向量AB不等于向量BA，因为方向不同
——向量AB等于负的向量BA，因为方向相同
——向量AB的长度等于向量BA的长度
——向量AB+向量BA=零向量，因为两个向量相反

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四：单位向量

长度为1的向量称为单位向量。当我们只关心向量方向，不关心向量大小时，则可以使用单位向量。
普通向量变换为单位向量的过程称为向量归一化

Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 B = new Vector3(2, 4, 5);

Vector3 v = (B - A).normalized;
Debug.Log("AB向量归一化后的座标：" + v);    //AB向量归一化后的座标：(1/3,2/3,2/3)

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五：向量的长度

Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 B = new Vector3(2, 4, 5);

//第一种方法：Vector3.Magnitude，Vector3.SqrMagnitude求出的是长度的平方
float dis = Vector3.Magnitude(B - A);

//第二种方法：Vector3.Distance
//float dis = Vector3.Distance(A, B);

Debug.Log("AB向量的长度：" + dis);    //AB向量的长度：3

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六：向量的点积(内积)

向量点积后的结果是一个标量

点乘的结果越大，两向量越接近，可以使用点乘来计算两个向量之间的夹角大小(Vector3.Angle求得的夹角在0度到180度之间)
点乘的结果大于0，则两个向量的夹角0<=θ<90
点乘的结果等于0，则两个向量的夹角θ=90，互相垂直
点乘的结果小于0，则两个向量的夹角90<θ<=180

Vector3 A = new Vector3(1, 1);
Vector3 B = new Vector3(1, 0);

float dot = Vector3.Dot(A, B);
Debug.Log("A向量与B向量的点乘为：" + dot);    //A向量与B向量的点乘为：1

float angle = Vector3.Angle(A, B);
Debug.Log("A向量与B向量的夹角为：" + angle);  //A向量与B向量的夹角为：45

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七：向量的叉积(外积)

叉乘只能用于3D向量，向量叉积后的结果是一个向量

叉乘求得的向量是垂直于A向量与B向量的（叉乘求得的向量与A向量和B向量的点积为0），求得的是一个平面的法向量

以下结论都是以左手定则为准的：（二维向量比较叉积的Z值，三维向量比较叉积的Y值）
叉乘的结果大于0，则向量旋转到向量B是顺时针
叉乘的结果等于0，则向量A与向量B是共线的
叉乘的结果小于0，则向量A旋转到向量B是逆时针

Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 B = new Vector3(-2, -2, 3);

Vector3 cross = Vector3.Cross(A, B);
Debug.Log("A向量与B向量的叉乘为：" + cross);    //A向量与B向量的叉乘为：(12,-9,2)

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点积与叉积总结：
向量的点积可以求得
——两个向量的夹角大小
——两个向量的位置远近

向量的叉积可以求得
——由一个向量旋转到另一个向量是顺时针还是逆时针
——两个向量组成平面的法向量

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八：求一个向量在另一个向量上的投影以及投影长度

求一个向量在另一个向量上的投影长度以及投影：

Vector3 projection = Vector3.Project(new Vector3(4, 4, 4), new Vector3(0, 0, 1));
float projectionDis = projection.magnitude;

Debug.Log("向量(4,4,4)在向量(0,0,1)上的投影向量为：" + projection);
Debug.Log("向量(4,4,4)在向量(0,0,1)上的投影长度为：" + projectionDis);

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九：向量叉积的程序示意

由向量A旋转到向量B其实没有所谓的顺时针与逆时针，A向量顺时针或逆时针都可以旋转到向量B，所以定义了旋转的方向只能大于等于0小于等于180°。unity左手座标系中的叉积计算遵循左手定则，即左手微握，大拇指伸出，向量A按四指旋转方向旋转到向量B时，且小于等于180°，则向量C沿着大拇指方向，大于180°小于等于360°则与大拇指反方向，这点刚好和叉积的右手定则反过来了

using UnityEngine;

public class CrossTest : MonoBehaviour
{
    public Transform a;
    public Transform b;
    private Vector3 worldCenter = Vector3.zero;

    private void Update()
    {
        a.RotateAround(worldCenter, Vector3.up, 30 * Time.deltaTime);
        Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);

        Debug.DrawLine(worldCenter, a.position - worldCenter, Color.yellow);
        Debug.DrawLine(worldCenter, b.position - worldCenter, Color.blue);
        Debug.DrawLine(worldCenter, cross, Color.red);
    }
}