圖--(一、圖的描述與實現)--數據結構學習筆記

1. 圖簡介

1.1 圖的分類

圖分爲

有向圖 (digraph): 即所有邊皆有向的圖
無向圖 (undigraph): 即所有邊皆無向的圖
混合圖(mixed graph): 即含有無向以及有向邊的圖

雖然圖分爲上面三種, 但是我們重點分析有向圖, 因爲所有的圖都可以由有向圖簡化得到

1.2 圖的描述

基於任意一個圖都可以由點集V 與邊集 E組成 , 我們可以對圖 G 做出如下描述

$G = (V;E)$

V(vertex): V 代表圖的點集, 我們令 $n = |V|$ ,n代表頂點的個數
E(edge): E 代表圖的邊集, 我們令 $e = |E|$ , e代表邊的個數

1.2.1 邊的描述

我們使用 $(u,v)$ 來描述一條邊

若u,v的次序無所謂, 則稱爲 無向邊(undirected edge), 容易看出,所有邊均無方向即爲無向圖
若u,v的次序需要考慮,則(u,v)稱爲有向邊(directed edge)
- u爲邊 $(u,v)$ 的尾(tail)
- v爲邊 $(u,v)$ 的頭(head)

1.2.2 路徑(path)/環路(circle)

路徑描述

所謂路徑, 就是我們所說的路徑, 它由有向邊構成, 所以我們可以做出如下的數學描述, 一條路徑可以由k個頂點的有序序列描述 , $v_0$ 爲路徑的起點, $v_k$ 爲路徑的終點
$路徑\pi = <v_0, v_1, ...,v_k>\\ 長度|\pi| = k$

路徑分類

path:
- simple path:即沒有重複節點的路徑, 即不存在 i j , 使得 $v_i = v_j$
- circle(環路): 即 $v_0 = v_k$ ,起點與終點相同的路徑
  - simple circle: 即不包含重複節點的circle環路
- DAG(有向無環圖): 有向但是不存在環路的圖 , 稱爲有向無環圖
- Hamiltonian tour(哈密爾頓環路): 每個頂點經過且只經過一次的環路, 稱爲哈密爾頓環路
- Eulerian tour(歐拉環路): 覆蓋了所有的邊,經過每一個邊一次且只經過一次的環路, 稱爲歐拉環路

2. 如何使用代碼描述圖

與一般的線性結構,樹型結構不同, 圖由邊和頂點組成, 那麼計算機中如何使用代碼描述圖呢?

2.1 鄰接矩陣和關聯矩陣

描述圖一般有兩種方式

鄰接矩陣
關聯矩陣

2.1.1 鄰接矩陣(adjacency matrix)

鄰接矩陣就是利用矩陣元素間關係來描述頂點關係的一種方式
行爲所有的頂點, 列也爲所有的頂點
若 $(i,j)$ 位置的元素爲1,則表示第 $i$ 個頂點爲起點, 第j個頂點爲終點的邊

	B	C	D
A	1	1
B			1
C			1
D

例如上面的矩陣, 代表的圖如下

2.1.2 關聯矩陣(incidence matrix)

在關聯矩陣中,** 行代表頂點 , 列代表邊** , 矩陣中元素的值表明某一頂點與某一邊是否有關聯

注意因爲一條邊最多與兩個節點關聯, 因此如果1表示有關, 0表示無關,關聯矩陣中的列(邊)最多有兩個1,其他均爲0

2.1.3 鄰接矩陣的優點與缺點

使用鄰接矩陣來描述圖, 直觀, 有效, 我們可以很方便的描述各種圖(有向圖, 網絡等),他的空間複雜度爲 $O(n^2)$ , 空間利用率極其低下 $≈\frac{1}{n}$

對於平面圖(邊與邊不相交)而言, 實際上我們的邊數都會遠小於頂點數, 邊數與頂點數由以下公式制約

---------------------------------1750-大數學家歐拉

3. 圖類定義

3.1 頂點模板類

頂點應該至少有如下屬性

頂點有三種狀態

UNDISCOVERED
DISCOVERED
VISITED

入度與出度:
時間標籤:
在遍歷樹中的父節點(int)
在遍歷樹中的優先級(最短通路, 極短跨邊等)(int)
代碼如下

typedef enum { UNDISCOVERED, DISCOVERED, VISITED } VStatus; //頂點狀態

template <typename Tv> struct Vertex{
    Tv data;
    int inDegree, outDegree;
    VStatus status;
    int dTime, fTime;
    int parent;
    int priority;
    Vertex(Tv const & d):
        data(d), inDegree(0),outDegree(0), status(UNDISCOVERED),
        dTime(-1), fTime(-1), parent(-1),
        priority(INT_MAX){}
};

3.2 邊模板類

邊模板類應該具有如下屬性

邊的狀態

UNDETERMINED
TREE
CROSS
FORWARD
BACKWARD

數據
權重
代碼如下

typedef enum { UNDETERMINED, TREE, CROSS, FORWARD, BACKWARD }EStatus; //邊在遍歷樹中所屬的類型

template <typename Te> struct Edge{

    Te data;
    int weiget;
    EStatus status;
    Edge(Te const & d, int w):
        data(d), weiget(w), status(UNDETERMINED){}
};

3.3 圖模板類

typedef enum { UNDISCOVERED, DISCOVERED, VISITED } VStatus; //頂點狀態
typedef enum { UNDETERMINED, TREE, CROSS, FORWARD, BACKWARD } EType; //邊在遍歷樹中所屬的類型

template <typename Tv, typename Te> //頂點類型、邊類型
class Graph { //圖Graph模板類
private:
   void reset() { //所有頂點、邊的輔助信息復位
      for ( int i = 0; i < n; i++ ) { //所有頂點的
         status ( i ) = UNDISCOVERED; dTime ( i ) = fTime ( i ) = -1; //狀態，時間標籤
         parent ( i ) = -1; priority ( i ) = INT_MAX; //（在遍歷樹中的）父節點，優先級數
         for ( int j = 0; j < n; j++ ) //所有邊的
            if ( exists ( i, j ) ) type ( i, j ) = UNDETERMINED; //類型
      }
   }
   void BFS ( int, int& ); //（連通域）廣度優先搜索算法
   void DFS ( int, int& ); //（連通域）深度優先搜索算法
   void BCC ( int, int&, Stack<int>& ); //（連通域）基於DFS的雙連通分量分解算法
   bool TSort ( int, int&, Stack<Tv>* ); //（連通域）基於DFS的拓撲排序算法
   template <typename PU> void PFS ( int, PU ); //（連通域）優先級搜索框架
public:
// 頂點
   int n; //頂點總數
   virtual int insert ( Tv const& ) = 0; //插入頂點，返回編號
   virtual Tv remove ( int ) = 0; //刪除頂點及其關聯邊，返回該頂點信息
   virtual Tv& vertex ( int ) = 0; //頂點v的數據（該頂點的確存在）
   virtual int inDegree ( int ) = 0; //頂點v的入度（該頂點的確存在）
   virtual int outDegree ( int ) = 0; //頂點v的出度（該頂點的確存在）
   virtual int firstNbr ( int ) = 0; //頂點v的首個鄰接頂點
   virtual int nextNbr ( int, int ) = 0; //頂點v的（相對於頂點j的）下一鄰接頂點
   virtual VStatus& status ( int ) = 0; //頂點v的狀態
   virtual int& dTime ( int ) = 0; //頂點v的時間標籤dTime
   virtual int& fTime ( int ) = 0; //頂點v的時間標籤fTime
   virtual int& parent ( int ) = 0; //頂點v在遍歷樹中的父親
   virtual int& priority ( int ) = 0; //頂點v在遍歷樹中的優先級數
// 邊：這裏約定，無向邊均統一轉化爲方向互逆的一對有向邊，從而將無向圖視作有向圖的特例
   int e; //邊總數
   virtual bool exists ( int, int ) = 0; //邊(v, u)是否存在
   virtual void insert ( Te const&, int, int, int ) = 0; //在頂點v和u之間插入權重爲w的邊e
   virtual Te remove ( int, int ) = 0; //刪除頂點v和u之間的邊e，返回該邊信息
   virtual EType & type ( int, int ) = 0; //邊(v, u)的類型
   virtual Te& edge ( int, int ) = 0; //邊(v, u)的數據（該邊的確存在）
   virtual int& weight ( int, int ) = 0; //邊(v, u)的權重
// 算法
   void bfs ( int ); //廣度優先搜索算法
   void dfs ( int ); //深度優先搜索算法
   void bcc ( int ); //基於DFS的雙連通分量分解算法
   Stack<Tv>* tSort ( int ); //基於DFS的拓撲排序算法
   void prim ( int ); //最小支撐樹Prim算法
   void dijkstra ( int ); //最短路徑Dijkstra算法
   template <typename PU> void pfs ( int, PU ); //優先級搜索框架
};

3.4 鄰接矩陣類模板

鄰接矩陣至少應該由兩個集合:

頂點集: 由頂點集合組成
邊集: 由鄰接矩陣所表示的邊, 爲二維向量


template <typename Tv, typename Te>
class GraphMatrix: public Graph<Tv,Te>
{
private:
    vector<Vertex<Tv>> V; //頂點集
    vector< vector<   Edge<Te >*> >E; // 由鄰接矩陣表示的邊集

public:
    int n ;
    int e;
    GraphMatrix(){n = e = 0;}
    ~GraphMatrix(){
        for(int j = 0; j < n; j++)
            for(int k = 0 ; k< n ; k++)
                delete  E[j][k];
    }
};

4. 圖類實現

4.1 頂點操作

4.1.1 鄰居枚舉

鄰居枚舉中也利用到了哨兵的思想, 由於頂點總數爲 n , 雖然在二維鄰接矩陣中最大索引爲n-1, 我們不妨定義n爲一個哨兵, 來助於我們進行訪問與遍歷

template <typename Tv, typename Te>
int GraphMatrix<Tv,Te>::nextNbr(int i , int j){
    while( (-1<j) && !exists(i,--j) );
    return j;
}

注意虛函數要實現必須在子類中聲明

4.1.2 頂點插入

頂點插入我們需要做出下面三個步驟

更新鄰接矩陣的列數
更新鄰接矩陣的行數
創建並且插入節點, 可以由下面表示的圖表示

template <typename Tv, typename Te>
int GraphMatrix<Tv,Te>::insert(Tv const & j){
    for(int j = 0; j <n ; j++) E[j].insert(NULL); n++;
    E.insert(vector< Edge<Te>*> ( n, n ,NULL));

    return V.insert(Vertex<Tv>(vertex()));
}

4.2 邊操作

4.2.1 判斷邊是否存在

template <typename Tv, typename Te>
bool GraphMatrix<Tv, Te>::exists(int i , int j){
    return (0<=i && i<n) && (0<=j && j<n) && \
            E[i][j] !=NULL;
}

4.2.2 插入/刪除一條邊

我們需要做出如下操作

如果已經有邊則直接返回 , 不操作
如果沒有邊, 則新建邊插入, 並且更新對應頂點的出度與入度, 以及圖的總數

template <typename Tv, typename Te>
void GraphMatrix<Tv, Te>::insert(Te const & edge, int w, int i ,int j){
    if(exists(i,j)) return ;
    E[i][j] = new Edge<Te>(edge, w);
    e++;
    this->V[i].outDegree++;
    this->V[i].inDegree++;
}

刪除只需執行相反的操作

template <typename Tv, typename Te>
Te GraphMatrix<Tv, Te>::remove(int i ,int j){
    Te eBak = edge(i,j);
    delete  E[i][j]; E[i][j] = NULL; //刪除邊

    e--;
    this->V[i].outDegree--;
    this->V[i].inDegree--;
}

圖--(一、圖的描述與實現)--數據結構學習筆記

文章目錄

1. 圖簡介

1.1 圖的分類

1.2 圖的描述

1.2.1 邊的描述

1.2.2 路徑(path)/環路(circle)

路徑描述

路徑分類

2. 如何使用代碼描述圖

2.1 鄰接矩陣和關聯矩陣

2.1.1 鄰接矩陣(adjacency matrix)

2.1.2 關聯矩陣(incidence matrix)

2.1.3 鄰接矩陣的優點與缺點

3. 圖類定義

3.1 頂點模板類

3.2 邊模板類

3.3 圖模板類

3.4 鄰接矩陣類模板

4. 圖類實現

4.1 頂點操作

4.1.1 鄰居枚舉

4.1.2 頂點插入

4.2 邊操作

4.2.1 判斷邊是否存在

4.2.2 插入/刪除一條邊

Wireshark 安裝+使用（一）

Visual Studio2019總是提示找不到main.obj , 找不到xxx.exe

利用Python進行語音信號處理(一. 錄製一段音頻並且回放,繪製圖像)

flexbox彈性盒子佈局教程（二）flexbox基本概念

lintcode-14. First Position of Target

圖--(一、圖的描述與實現)--數據結構學習筆記

Mac下配置sublime實現LaTeX

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結