第五章 最小范數法
5.1 引言
讀者將從第4章回憶起，相位展開的公共路徑跟蹤方法是從網格點開始，在覆蓋整個陣列的路徑上積分包裹相位差。正如我們在第2章中所解釋的，如果包裹的相位數據包含殘留點，則不可能毫無模糊地解開數據並在任何地方滿足局部梯度假設。需要某種形式的干預才能使得展開唯一。路徑跟蹤方案顯式或隱式地生成分支割或不連續線。而像Goldstein算法（第4.2節）和mask cut算法（第4.4節）這樣的方案利用分支切口連接這些殘留點。其他方案，如質量引導算法（第4.3節）和Flynn的最小不連續性算法（第4.5節），在不檢測殘留物的情況下生成不連續線。這些分支切割或線起到了阻止展開路徑穿過線的屏障的作用。相位差可以大於線之間的π弧度。路徑跟蹤算法是相位解包裹的強大方法，應該是存儲良好的相位解包裹技術庫的一部分。
在這一章中，我們採取了一種完全不同的方法來展開相位。這種方法以數學形式的方式對解施加約束。具體地，我們給出了廣義最小范數意義下的相位展開問題。我們尋找展開的相位，其局部導數與被測導數“儘可能接近”匹配。當我們提出廣義誤差範數時，“儘可能接近”這一術語將變得精確。
我們也會展示相位展開是如何可以轉化爲一個有權重和無權重的最小二乘問題的。最小二乘誤差概念在形式上被稱爲L2意義上的最小范數。也就是說，解的梯度和測量梯度之間的平方差之和（積分）最小。最小二乘誤差是一般的範數最小化問題的一個特殊情況，在這個問題中，我們可以自由選擇P以滿足我們的需要。
本章的算法，只要它們“將解曲面擬合到包裹的相位數據上”，在方法上與其他“曲面擬合”相位展開算法相似。例如，Tarayre、Massonnet和Sirat[4]通過覆蓋網格或網格將輸入相陣列劃分爲多個區域。它們迭代地構造了一個由小平面組成的表面，這些小平面的梯度與每個區域內的平均相位梯度相匹配。該算法的缺點是不能處理不連續性（例如由於剪切或SAR佈局）在相位數據中，Labrousse、Dupont和Berthod[5]的算法通過最小化兩個函數之和的能量函數來將曲面擬合到相位數據。第一個函數測量表面和包裹相位數據之間的差異。而第二個是“膜模型”，測量從一個連續的表面出發。通過模擬退火的方法解決了最小化問題。然而，這種方法還不成熟，而且從計算的角度來看代價極高。
本章的算法不同於這些曲面擬合算法，因爲它們最小化了包裹相位梯度和解曲面梯度之間的差異。我們將包裹相位的梯度定義爲簡單的包裹相位的差分，但其他定義也是可能的[6]。這些梯度擬合算法的歷史相當悠久，至少與二維相位展開的短暫歷史有關。未加權最小二乘法，將包裹相位和解表面之間的梯度的平方和最小化，起源於1977年Fried[7]和Hudgin[8]的波前重建工作，隨後將介紹最小二乘法的發展情況在章節5.3。最近的工作集中在最小二乘法的新公式上，如Fornaro、Franceschetti和Lanari 9]的Greens公式，以及對leastsquares方法進行改進的加權掩模方法，如Song等人的多重掩模方法。[l] ，Ghiglia和Romero的PCG方法[1]，以及ITT（L1）的多重網格算法。後兩種算法將在第5.4.3節和第5.4.4節中介紹。第5.5節中所介紹的p範數公式通過將加權最小二乘公式放在廣義數學框架中使其成熟。
爲了設置P範數相位展開方法的臺階。去檢查一個簡單的數據擬合問題的幾個最小范數解是有幫助的。我們希望去尋找最好的直線擬合圖5.1中的五個數據點。我們定義組好的擬合爲直線，這樣可以最小化通過如下公式所定義的誤差：
其中，
表示給定的數據點。我們必須尋找斜率a和偏移b來最小化這個和。
普通的最小二乘誤差（p=2）解產生了如圖5.1（a）所示的直線。注意的是單外點向直線壓迫靠近來最小化二乘法誤差。一般情況下，L2範數解並沒有準確的通過每一個數據點。最小的絕對誤差（p=1）解如圖5.1（b）所示。外點非常小的影響着解並且這條線緊跟着其餘的幾點。因爲給出的三個數據點是共線的，最小0範數解確實與這些點很匹配，如圖5.1（c）。換句話說，最小0範數線在儘可能少的地方偏離數據。然而，因爲任意兩個點定義一條直線，其他的0範數解也是可能的，但是它們僅僅是局部最小值。其中一個局部最小解如圖5.1(d)。根據問題的不同，可能有許多局部極小或相等的全局極小值。
圖5.1數據點集合的最小L“-標準線擬合解決方案。（a） 最小平方誤差（p=2）解。（b）最小絕對誤差（p=1）解）。（c）最小L0範數解，在這種情況下，因爲三個數據點是共線的，所以這條線偏離可能最少的地方的數據。（d）任何其他可能的局部最小L-範數解之一
這一章的結構組織如下：在5.2節我們給出了相位展開最小p範數方法的數學公式。同時，我們也給出了對於通用的p的等式，之後的章節我們將着重放在p=2和p=0的情況。在章節5.3和章節5.4我們給出了很多p=2時的算法，我們也稱爲最小二乘法。章節5.3包括幾個無權重最小二乘算法其中破壞的相位值沒有被忽略。儘管這些算法在實際中是不合適的，由於破壞的相位值通常會破壞全局範圍內的展開結果，它們是之後算法的基礎。在章節5.4中，我們給出了幾個權重最小二乘法能夠給破壞的相位值0權重，並且得出準確解。如同質量引導算法一樣，我們在第四章中研究，我們需要質量映射圖或者掩碼來定義權重。
在章節5.5我們給出了一個算法對於相位展開問題的一般的P範數解。因爲這個算法產生了數據獨立權重（如果p不等於2），它並不需要一個質量映射圖來定義它們。就像章節4.5的Flynn最小不連續性算法。有沒有質量映射圖都可以使用。在我們的相位展開例子的算法評估中，我們只考慮p=0情況，在實際中會產生最好的結果。除了提供一個新的i香味展開算法，一般的p範數公式對於相位展開提供了一個有價值的角度去重新看這個問題。它揭示了未加權和加權最小二乘問題，並提供了一個相當令人驚訝的鏈接到路徑跟蹤方法，我們在第六章進行探索。