day 23-24 算法：零錢兌換、編輯距離

1. 題目

1. 給定不同的面額的硬幣coins和一個總金額amount。編寫一個函數來計算可以湊成總金額所需最少的硬幣個數。https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
2. 給定兩個單詞word1和word2，計算出將word1轉換成word2所使用的最少操作數。https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/

2. 基本知識

這兩天使用的還是動態規劃的知識。

3. 算法題解

3.1 給定不同的面額的硬幣coins和一個總金額amount。編寫一個函數來計算可以湊成總金額所需最少的硬幣個數

如果沒有任何一種組合，則返回-1
示例：
輸入：coins=[1,2,5],amount = 11
輸出：3
解釋：11= 5+5+1

思路：
這個問題可以看成爬樓梯的翻版，在某一個臺階上可以往上走1步，2步和5步，走到對應的臺階數各種最少需要多少步

解題步驟：

1. 定義狀態：組成第i個面值需要最少的硬幣個數dp[i]

2. 定義狀態方程:dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2],dp[i-5]),這裏的1，2,5是硬幣面值

   public static int algorithm(int[] coins, int amount) {
   // 定義一個數組，長度爲amount+1
   int[] dp = new int[amount + 1];
   // 填充上比較大的數字
   Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);

    dp[0] = 0;
    // 遍歷獲取每一個面值所需的最少硬幣數
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
   
            if (coins[j] <= i) {
                // 根據狀態方程計算每一步所需最少硬幣數，這裏注意+1放在括號裏
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
   
    return (dp[amount] > amount) ? -1 : dp[amount];
   

   }

3.2 給定兩個單詞word1和word2，計算出將word1轉換成word2所使用的最少操作數

可以做如下操作：

1. 插入一個字符

2. 刪除一個字符

3. 替換一個字符

    示例：  
    輸入：word1=“horse”，word2=“ros”
    輸出：3
   

解題步驟：

1. 定義狀態：dp[i][j]表示第一個單詞的前i個字符轉換爲第二個單詞的前j個字符最少步數
2. 狀態轉移方程

   1. word1[i] == word2[j],兩個字符一樣，則不需要額外的操作，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

   2. 如果兩個字符不一樣，那麼最小步數爲：增刪改的步驟 1 + 原步驟的最小值dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])，此處不太好理解，如果畫出二維表格推演一下，就能得出這個結論。

       public static int minDistance(String word1, String word2) {
           int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
      
           // 網格的兩個邊都只能添加字符
           for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
               dp[i][0] = i;
           }
      
           for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
               dp[0][i] = i;
           }
      
           for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
               for (int j = 1; j < dp[0].length; j++) {
                   int left = dp[i - 1][j];
                   int up = dp[i][j - 1];
                   int left_up = dp[i - 1][j - 1];
                   if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
                       //當前字符一樣，不需要操作
                       dp[i][j] = left_up;
                   else
                       // 字符不一樣，找最小值+1
                       dp[i][j] = 1 + Math.min(left, Math.min(up, left_up));
               }
           }
           return dp[dp.length - 1][dp[0].length - 1];
       }