什麼？貝塞爾曲線竟然可以用來描摹心儀的小姐姐！

什麼是貝塞爾曲線？

​ 貝塞爾曲線於 1962 年，由法國工程師皮埃爾·貝濟埃（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來爲汽車的主體進行設計,貝塞爾曲線最初由保爾·德·卡斯特里奧於1959年運用德卡斯特里奧算法開發，以穩定數值的方法求出貝塞爾曲線。

​ 貝塞爾曲線具有很多特殊的性質，在一些領域比如圖形設計中應用十分廣泛，貝塞爾曲線完全由其控制點決定其形狀,　ｎ個控制點對應着ｎ－１階的貝塞爾曲線，並且可以通過遞歸的方式來繪製。

一階曲線

一階曲線很好理解, 就是根據t來的線性插值. $P_0$表示的是一個向量$(x ,y)$, 其中$x$和$y$是分別按照這個公式來計算的。
$B_{1}(t)=(1-t) P_{0}+t P_{1}, t \in[0,1]$
可以看到，一階曲線是一條直線。

二階曲線

既然前面提到遞歸，那麼二階必然和一階有關係，

在平面上三個不共線的三點，依次用線段連接，分別取$P_a$和$P_b$兩點，使得$P_0P_a:P_aP_1=P_1P_b:P_bP_2=t$，此時$P_aP_b$又是一條直線，可以按照一階方式來插值了：
$P_a=(1-t) P_{0}+t P_{1}$

$P_b=(1-t) P_{1}+t P_{2}$

$B_2(t)=(1-t) P_{a}+t P_{b}=(1-t)^{2} P_{0}+2 t(1-t) P_{1}+t^{2} P_{2}, t \in[0,1]$

三階曲線

二階的貝塞爾通過在控制點之間再採點的方式實現降階, 每一次選點都是一次的降階，三階的也是同理：

這樣通過給定的離散點就能確定它們之間的插值曲線了。

鋼筆工具

貝塞爾曲線在圖形設計的應用中，最典型的就是Photoshop中的鋼筆工具。如下，中間一個節點，兩邊兩個手柄，調節手柄的方向可以控制曲線的走向，調節手柄的長度可以控制曲線的弧度，也就是調節$t$的過程。

熟練運用之後就能繪製複雜的圖形，然後上色即可。

使用python繪製圖像

到這裏開始切入正題了，前面提到既然貝塞爾曲線可以通過公式表示，那麼一定可以通過python實現自動化操作。整體的思路就是給定一個位圖圖像，然後將其矢量化以保存矢量路徑，然後讀取路徑使用貝塞爾曲線勾勒填充就可以了。

位圖矢量化

位圖與矢量圖的一大區別就是位圖圖像進行處理，放大後會出現方塊狀，圖片屬於真彩色，圖片會失真。位圖圖像善於重現顏色的細微層次，能夠製作出色彩和亮度變化豐富的圖像，可逼真地再現這個世界，文件龐大，不能隨意縮放。矢量圖中保存的是線條和圖塊的信息，也就是所謂的路徑，在python中可以藉助Potrace模塊來完成矢量化的操作。

定義貝塞爾曲線

根據前面的知識定義貝塞爾曲線比較簡單，這裏使用粗暴的函數嵌套方式，感興趣的可以另外改善。

對於複雜的圖像我們一般使用三階以上的曲線描摹，需要定義類似於畫筆的操作，即繪製曲線至(x,y)點，

然後就是其他的線條操作。

繪圖

前面位圖中存取了路徑信息，我們只需要根據相應的路徑使用相應的繪製操作即可，如下

整個繪圖過程可以採用python中的turtle模塊，完成動畫，整個過程約二三十分鐘，一氣呵成，用來描摹心儀的小姐姐最合適不過～，下面放上小姐姐的照片，

然後經過簡單的剪輯配樂，就可以做成日常逗人開心的小視頻了，點擊下面鏈接即可觀看，

用python畫出南方菇涼～

代碼鏈接：draw-picture-with-turtle