1、Batch Normalization概念

Batch Normalization：批标准化

批：一批数据，通常为mini-batch
标准化： 0均值，1方差

优点：

可以用更大学习率，加速模型收敛；
可以不用精心设计权值初始化；
可以不用dropout或较小的dropout；
可以不用L2或者较小的weight decay；
可以不用LRN（local response normalization局部响应值的标准化）

上面伪代码中最后一部分是affine transfrom，也就是scale and shift，公式中的gamma和beta是可学习参数，可以根据loss反向传播更新参数。

为什么在进行normalize更新之后要加一个affine transform呢？这一步可以增强模型的容纳能力，使模型更灵活，选择性更多，可以让模型判断是否需要对模型进行变换。

这个方法是在论文《Batch Normalization:Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift》提出的，主要是为了解决ICS问题（Internal Covariate Shift数据尺度变化）。

2、Pytorch的Batch Normalization 1d/2d/3d实现

Pytorch中nn.Batchnorm1d、nn.Batchnorm2d、nn.Batchnorm3d都继承于基类_Batchnorm；

2.1 _BatchNorm

_BatchNorm的主要参数：

num_features：一个样本特征数量（最重要）；
eps：分母修正项，避免分母为零；
momentum：指数加权平均估计当前mean/var；
affine：布尔变量，是否需要affine transform；
track_running_stats：训练状态还是测试状态；如果是训练状态，mean/var需要不断计算更新；如果在测试状态，mean/var是固定的；

def __init__(self,num_features,eps=1e-5,momentum=0.1,affine=True,track_running_stats=True)

2.2 nn.BatchNorm1d/nn.BatchNorm2d/nn.NatchNorm3d

nn.BatchNorm1d/nn.BatchNorm2d/nn.NatchNorm3d的主要属性：

running_mean：均值；
running_var：方差；
weight:affine transform中的gamma；
bias：affine transform中的beta；

BN的公式： $\widehat{x}_{i} \leftarrow \frac{x_{i}-\mu_{\mathcal{B}}}{\sqrt{\sigma_{\mathcal{B}}^{2}+\epsilon}}$ $y_{i} \leftarrow \gamma \widehat{x}_{i}+\beta \equiv \mathrm{B} \mathrm{N}_{\gamma, \beta}\left(x_{i}\right)$

BN中的均值和方差在训练的时候采用指数加权平均进行计算，在测试时使用当前统计值： $running_mean = (1-momentum) * pre_{\_}running_{\_}mean + momentum * mean_{\_}t$ $running_{\_}=(1-momentum)*pre_{\_}running_{\_}var+momentum*var_{\_}t$

2.3 nn.BatchNorm1d/nn.BatchNorm2d/nn.NatchNorm3d对数据的要求

nn.BatchNorm1d input = Batch_size * 特征数 * 1d特征维度
nn.BatchNorm2d input = Batch_size * 特征数 * 2d特征维度
nn.BatchNorm3d input = Batch_size * 特征数 * 3d特征维度

2.3.1 nn.BatchNorm1d

在全连接层使用的就是nn.BatchNorm1d，全连接层中的每一个神经元就是一个特征，假设一个网络层有五个特征，也就是一个网络层有五个神经元，如下图中的每一列是一个数据，每个数据有5个特征作为网络层的输入，每一个特征的维度是红色圆圈圈出的部分，维度为1，这样就构成了一个样本的一个特征。

每次训练数据组成一个batch，假设一个batch有三个样本，这样的三个样本组成的batch就构成了nn.BatchNorm1d的输入数据形式，输入数据的形式为[3,5,1]，有时候1可以忽略，因此可以表示为[3,5]；

我们知道，nn.BatchNorm1d有四个参数需要计算，这四个参数需要在特征维度上进行计算，如上图，现在有三个样本，每个样本有五个特征，需要在三个样本的同样位置的特征上求取均值、方差、gamma和beta，在每一个特征维度上都有对应的均值、方差、gamma和beta。

下面通过代码学习nn.BatchNorm1d：

    batch_size = 3  # batch_size
    num_features = 5  # 每一个数据的特征个数
    momentum = 0.3

    features_shape = (1)  # 特征维度为1

    feature_map = torch.ones(features_shape)  # [1]                                                        # 1D
    feature_maps = torch.stack([feature_map*(i+1) for i in range(num_features)], dim=0)  # [1,2,3,4,5]     # 2D
    feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0)  # [[][][]]            # 3D
    print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps_bs, feature_maps_bs.shape))

    bn = nn.BatchNorm1d(num_features=num_features, momentum=momentum)

    running_mean, running_var = 0, 1

    for i in range(2):
        outputs = bn(feature_maps_bs)

        print("\niteration:{}, running mean: {} ".format(i, bn.running_mean))
        print("iteration:{}, running var:{} ".format(i, bn.running_var))

        mean_t, var_t = 2, 0

        running_mean = (1 - momentum) * running_mean + momentum * mean_t
        running_var = (1 - momentum) * running_var + momentum * var_t

        print("iteration:{}, 第二个特征的running mean: {} ".format(i, running_mean))
        print("iteration:{}, 第二个特征的running var:{}".format(i, running_var))

通过运行代码，得到输出为：

iteration:0, running mean: tensor([0.3000, 0.6000, 0.9000, 1.2000, 1.5000]) 
iteration:0, running var:tensor([0.7000, 0.7000, 0.7000, 0.7000, 0.7000]) 
iteration:0, 第二个特征的running mean: 0.6 
iteration:0, 第二个特征的running var:0.7

iteration:1, running mean: tensor([0.5100, 1.0200, 1.5300, 2.0400, 2.5500]) 
iteration:1, running var:tensor([0.4900, 0.4900, 0.4900, 0.4900, 0.4900]) 
iteration:1, 第二个特征的running mean: 1.02 
iteration:1, 第二个特征的running var:0.48999999999999994

2.3.2 nn.BatchNorm2d

nn.BatchNorm2d和nn.BatchNorm1d输入数据的主要不同在于特征维度上，卷积神经网络输出的一个特征图就是二维的形式。

如下图，假设一个特征图的维度为22，一个层有三个卷积核，会输出三个通道的22的特征图，一个特征图在BN中理解为一个特征，BN会在一个特征上求取均值、方差、gamma和beta。因此在nn.BatchNorm2d中输入数据的形式为[3,3,2,2]。

下面通过代码研究nn.BatchNorm2d的具体使用：

    batch_size = 3
    num_features = 6
    momentum = 0.3
    
    features_shape = (2, 2)

    feature_map = torch.ones(features_shape)  # 2d                                                     # 2D
    feature_maps = torch.stack([feature_map*(i+1) for i in range(num_features)], dim=0)  # 3d         # 3D
    feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0)  # 4d             # 4D

    print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps_bs, feature_maps_bs.shape))

    bn = nn.BatchNorm2d(num_features=num_features, momentum=momentum)

    running_mean, running_var = 0, 1

    for i in range(2):
        outputs = bn(feature_maps_bs)

        print("\niter:{}, running_mean.shape: {}".format(i, bn.running_mean.shape))
        print("iter:{}, running_var.shape: {}".format(i, bn.running_var.shape))

        print("iter:{}, weight.shape: {}".format(i, bn.weight.shape))
        print("iter:{}, bias.shape: {}".format(i, bn.bias.shape))

q代码对应输出为：

iter:0, running_mean.shape: torch.Size([6])
iter:0, running_var.shape: torch.Size([6])
iter:0, weight.shape: torch.Size([6])
iter:0, bias.shape: torch.Size([6])

iter:1, running_mean.shape: torch.Size([6])
iter:1, running_var.shape: torch.Size([6])
iter:1, weight.shape: torch.Size([6])
iter:1, bias.shape: torch.Size([6])

2.3.3 nn.BatchNorm3d

下图所示为nn.BatchNorm3d的输入数据形式，一个数据的一个特征是3维的，其形式为[2,2,3]，一个数据有3个特征，一共有3个样本，所以nn.BatchNorm3d的输入数据形式为[3,3,2,2,3]。

nn.BatchNorm3d的代码如下：

    batch_size = 3
    num_features = 4
    momentum = 0.3

    features_shape = (2, 2, 3)

    feature = torch.ones(features_shape)                                                # 3D
    feature_map = torch.stack([feature * (i + 1) for i in range(num_features)], dim=0)  # 4D
    feature_maps = torch.stack([feature_map for i in range(batch_size)], dim=0)         # 5D

    print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps, feature_maps.shape))

    bn = nn.BatchNorm3d(num_features=num_features, momentum=momentum)

    running_mean, running_var = 0, 1

    for i in range(2):
        outputs = bn(feature_maps)

        print("\niter:{}, running_mean.shape: {}".format(i, bn.running_mean.shape))
        print("iter:{}, running_var.shape: {}".format(i, bn.running_var.shape))

        print("iter:{}, weight.shape: {}".format(i, bn.weight.shape))
        print("iter:{}, bias.shape: {}".format(i, bn.bias.shape))

pytorch —— Batch Normalization

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