第一題 單位變換
題目
【問題描述】
在計算機存儲中，15.125GB是多少MB？
【答案提交】
這是一道結果填空的題，你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數，在提交答案時只填寫這個整數，填寫多餘的內容將無法得分。
思路
1G=1024M
答案
15488
第二題 約數個數
題目
【問題描述】
1200000有多少個約數（只計算正約數）。
【答案提交】
這是一道結果填空的題，你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數，在提交答案時只填寫這個整數，填寫多餘的內容將無法得分。
思路
枚舉+檢查
參考代碼
# 1200000有多少個約數（只計算正約數）。
N = 1200000
if __name__ == '__main__':
print(len([i for i in range(1, N + 1) if N % i == 0]))
}
答案
96
第三題 葉結點數
題目
【問題描述】
一棵包含有2019個結點的二叉樹，最多包含多少個葉結點？
【答案提交】
這是一道結果填空的題，你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數，在提交答案時只填寫這個整數，填寫多餘的內容將無法得分。
思路
n=n0+n1+n2，爲使葉子節點數（n0）最多，必須n1最小，設爲0，而n0=n2+1
得n2=(2019-1)/2=1009
所以n0=1010
答案
1010
第四題 數字9
題目
【問題描述】
在1至2019中，有多少個數的數位中包含數字9？
注意，有的數中的數位中包含多個9，這個數只算一次。例如，1999這個數包含數字9，在計算時只是算一個數。
【答案提交】
這是一道結果填空的題，你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數，在提交答案時只填寫這個整數，填寫多餘的內容將無法得分。
思路
僞代碼
for i from 9 to 2019
if str(i).contains('9')
ans++
參考代碼：
N = 2019
if __name__ == '__main__':
ans = len([s for s in [str(i) for i in range(9, N + 1)] if '9' in s])
print(ans)
答案
544
第五題 數位遞增的數
題目
【問題描述】
一個正整數如果任何一個數位不大於右邊相鄰的數位，則稱爲一個數位遞增的數，例如1135是一個數位遞增的數，而1024不是一個數位遞增的數。
給定正整數 n，請問在整數 1 至 n 中有多少個數位遞增的數？
【輸入格式】
輸入的第一行包含一個整數 n。
【輸出格式】
輸出一行包含一個整數，表示答案。
【樣例輸入】
30
【樣例輸出】
26
【評測用例規模與約定】
對於 40% 的評測用例，1 <= n <= 1000。
對於 80% 的評測用例，1 <= n <= 100000。
對於所有評測用例，1 <= n <= 1000000。
思路 O(kN)
迭代1~n
轉換爲字符串
迭代字符串的每一位，判斷是否滿足要求
參考代碼
if __name__ == '__main__':
ans = 0
n = int(input())
for s in [str(i) for i in range(1, n + 1)]:
flag = True
for j in range(1, len(s)):
if s[j - 1] > s[j]:
flag = False
break
if flag:
ans += 1
print(ans)
第六題 遞增三元組
題目
【問題描述】
在數列 a[1], a[2], …, a[n] 中，如果對於下標 i, j, k 滿足 0<i<j<k<n+1 且 a[i]<a[j]<a[k]，則稱 a[i], a[j], a[k] 爲一組遞增三元組，a[j]爲遞增三元組的中心。
給定一個數列，請問數列中有多少個元素可能是遞增三元組的中心。
【輸入格式】
輸入的第一行包含一個整數 n。
第二行包含 n 個整數 a[1], a[2], …, a[n]，相鄰的整數間用空格分隔，表示給定的數列。
【輸出格式】
輸出一行包含一個整數，表示答案。
【樣例輸入】
5
1 2 5 3 5
【樣例輸出】
2
【樣例說明】
a[2] 和 a[4] 可能是三元組的中心。
【評測用例規模與約定】
對於 50% 的評測用例，2 <= n <= 100，0 <= 數列中的數 <= 1000。
對於所有評測用例，2 <= n <= 1000，0 <= 數列中的數 <= 10000。
思路 O(N^2)
枚舉每個元素
該元素與前面的元素比較，找到小的即可
該元素與後面的元素比較，找到大的即可
上面兩項爲真，即說明當前元素可以作爲三元組的中心
O(N^2)，因爲N最大爲1000，所以1秒內可以解決戰鬥。
參考代碼
if __name__ == '__main__':
ans = 0
n = int(input().strip())
data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')] # 轉整數列表
len1 = len(data)
for j in range(1, len1 - 1):
hasSmall = False
hasBig = False
for i in range(j):
if data[i] < data[j]:
hasSmall = True
break
for k in range(j + 1, len1):
if data[j] < data[k]:
hasBig = True
break
if hasSmall and hasBig:
ans += 1
print(ans)
第七題 音節判斷
題目
【問題描述】
小明對類似於 hello 這種單詞非常感興趣，這種單詞可以正好分爲四段，第一段由一個或多個輔音字母組成，第二段由一個或多個元音字母組成，第三段由一個或多個輔音字母組成，第四段由一個或多個元音字母組成。
給定一個單詞，請判斷這個單詞是否也是這種單詞，如果是請輸出yes，否則請輸出no。
元音字母包括 a, e, i, o, u，共五個，其他均爲輔音字母。
【輸入格式】
輸入一行，包含一個單詞，單詞中只包含小寫英文字母。
【輸出格式】
輸出答案，或者爲yes，或者爲no。
【樣例輸入】
lanqiao
【樣例輸出】
yes
【樣例輸入】
world
【樣例輸出】
no
【評測用例規模與約定】
對於所有評測用例，單詞中的字母個數不超過100。
解法
將單詞的輔音標記爲0，元音標記爲1，那麼符合要求的單詞形態爲0+ 1+ 0+ 1
在限定開頭必須爲0，最後必須爲1的情況下，01交替爲3次，即前後元素相加結果爲1的次數必須爲3
代碼：
if __name__ == '__main__':
word = input().strip()
h = [int(c in 'aeiou') for c in word]
# 首字母不能是元音 尾字母不能是輔音
if h[0] == 1 or h[-1] == 0:
print('no')
exit()
cnt = len([i for i in range(1, len(h)) if h[i - 1] + h[i] == 1])
print('yes') if cnt == 3 else print('no')
正則表達式
if __name__ == '__main__':
word = input().strip()
import re
match = re.match('[^aeiou]+[aeiou]+[^aeiou]+[aeiou]+', word)
print('no') if match == None or match.end() != len(word) else print('yes')
第八題 長草
題目
【問題描述】
小明有一塊空地，他將這塊空地劃分爲 n 行 m 列的小塊，每行和每列的長度都爲 1。
小明選了其中的一些小塊空地，種上了草，其他小塊仍然保持是空地。
這些草長得很快，每個月，草都會向外長出一些，如果一個小塊種了草，則它將向自己的上、下、左、右四小塊空地擴展，這四小塊空地都將變爲有草的小塊。
請告訴小明，k 個月後空地上哪些地方有草。
【輸入格式】
輸入的第一行包含兩個整數 n, m。
接下來 n 行，每行包含 m 個字母，表示初始的空地狀態，字母之間沒有空格。如果爲小數點，表示爲空地，如果字母爲 g，表示種了草。
接下來包含一個整數 k。
【輸出格式】
輸出 n 行，每行包含 m 個字母，表示 k 個月後空地的狀態。如果爲小數點，表示爲空地，如果字母爲 g，表示長了草。
【樣例輸入】
4 5
.g...
.....
..g..
.....
2
【樣例輸出】
gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.
【評測用例規模與約定】
對於 30% 的評測用例，2 <= n, m <= 20。
對於 70% 的評測用例，2 <= n, m <= 100。
對於所有評測用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= k <= 1000。
思路 O(N*M)
典型的bfs，基本是個模板題。時間複雜度最多爲O(N*M)。
參考代碼
class Block:
i = 0
j = 0
month = 0
def __init__(self, i, j, month):
self.i = i
self.j = j
self.month = month
dx = (-1, 1, 0, 0)
dy = (0, 0, -1, 1)
if __name__ == '__main__':
(N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
data = [input() for _ in range(0, N)] # 記錄原始數據
ans = [['.'] * M for _ in range(N)] # 記錄答案 # 全部初始化爲.
K = int(input().strip()) # 輸入K
q = [Block(i, j, 0) for i in range(N) for j in range(M) if data[i][j] == 'g'] # bfs的原始隊列
# 模擬隊列起始位置
qBegin = 0
# 隊列操作
while qBegin < len(q):
x, y, month = q[qBegin].i, q[qBegin].j, q[qBegin].month
qBegin += 1
ans[x][y] = 'g' # 標記在結果中
if month < K:
for (nx, ny) in [(x + _x, y + _y) for (_x, _y) in zip(dx, dy)]:
if 0 <= nx < N and 0 <= ny < M and ans[nx][ny] == '.':
q.append(Block(nx, ny, month + 1))
ans[nx][ny] = 'g'
# 輸出
for i in range(N):
print(''.join(ans[i]))
第九題 序列計數
題目
【問題描述】
小明想知道，滿足以下條件的正整數序列的數量：
1. 第一項爲 n；
2. 第二項不超過 n；
3. 從第三項開始，每一項小於前兩項的差的絕對值。
請計算，對於給定的 n，有多少種滿足條件的序列。
【輸入格式】
輸入一行包含一個整數 n。
【輸出格式】
輸出一個整數，表示答案。答案可能很大，請輸出答案除以10000的餘數。
【樣例輸入】
4
【樣例輸出】
7
【樣例說明】
以下是滿足條件的序列：
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
【評測用例規模與約定】
對於 20% 的評測用例，1 <= n <= 5；
對於 50% 的評測用例，1 <= n <= 10；
對於 80% 的評測用例，1 <= n <= 100；
對於所有評測用例，1 <= n <= 1000。
思路：記憶型遞歸 O(N^3)
題幹第三點，是一個遞歸定義，可以得到遞歸式：
f(pre,cur) = f(cur,1) + f(cur,2) + ... +f(cur,abs(pre-cur)-1) + 1
pre表示前一個數，cur代表當前的數，選定之後，序列種數等於以cur爲前序，以1到abs-1爲當前的序列數的總和再加1.
如f(5,2) = f(2,1)+f(2,2).
但是暴力遞歸的複雜度是指數級
基本的優化方案是加狀態記憶：但輸入1000時，實測運行時間爲1000~2000ms；
進一步優化
至此，能通過80%的數據（在1000ms限制下）；
解空間是N的平方（詳細爲N*N）表格，但是每次都要循環加總，所以成了N的立方，在同樣的解空間下，避免循環加總，即可優化到N的平方
重新考慮狀態的轉移：
如果我們用f(i,j)表示前一個數是i，當前數是1到j的合法序列的個數；有f(i,j) = 1 + f(i,j-1) + f(j,abs(i-j)-1)即分爲兩個部分1）i作爲前一個數，從1到j-1爲當前數的合法序列的個數已經計算好，2）求以j爲尾數，後面選擇1到abs(i-j)-1的合法序列的個數。
如 f(10,5)=f(10,4)+f(5,4);而不是枚舉1到5；這樣每次解答樹只展開兩個節點，相當於減少一層循環，雖然解答樹的層次還是很深，但是由於記憶的存在，解空間仍然是N的平方。可在100ms內解決。
參考代碼：
import sys
MOD = 10000
mem = [[0] * 1001 for _ in range(1001)]
sys.setrecursionlimit(2000) # 設置遞歸層次限制
def dfs(pre, cur):
if cur <= 0:
return 0
if mem[pre][cur] != 0:
return mem[pre][cur]
mem[pre][cur] = (1 + dfs(pre, cur - 1) + dfs(cur, abs(pre - cur) - 1)) % MOD
return mem[pre][cur]
if __name__ == '__main__':
N = int(input().strip())
print(dfs(N, N))
第十題 晚會節目單
題目
【問題描述】
小明要組織一臺晚會，總共準備了 n 個節目。然後晚會的時間有限，他只能最終選擇其中的 m 個節目。
這 n 個節目是按照小明設想的順序給定的，順序不能改變。
小明發現，觀衆對於晚會的喜歡程度與前幾個節目的好看程度有非常大的關係，他希望選出的第一個節目儘可能好看，在此前提下希望第二個節目儘可能好看，依次類推。
小明給每個節目定義了一個好看值，請你幫助小明選擇出 m 個節目，滿足他的要求。
【輸入格式】
輸入的第一行包含兩個整數 n, m ，表示節目的數量和要選擇的數量。
第二行包含 n 個整數，依次爲每個節目的好看值。
【輸出格式】
輸出一行包含 m 個整數，爲選出的節目的好看值。
【樣例輸入】
5 3
3 1 2 5 4
【樣例輸出】
3 5 4
【樣例說明】
選擇了第1, 4, 5個節目。
【評測用例規模與約定】
對於 30% 的評測用例，1 <= n <= 20；
對於 60% 的評測用例，1 <= n <= 100；
對於所有評測用例，1 <= n <= 100000，0 <= 節目的好看值 <= 100000。
錯誤思路
如果用兩次排序求解，那就錯了。因爲並不是要選出的方案的好看值總和最大，而是要從前往後儘量好看。即選出的M個數字典序最大
思路 O(N^2)
此題關鍵在於“第一個節目儘可能好看”並希望“第二個節目儘可能好看”……那麼我們選擇的第一節目就是max(g[0]~g[n-m])閉區間，要選擇的第二個節目是max(g[lastMax+1],g[n-m+1])及從上一個節目往下到n-m+1這個區間裏面選最好看的，直到剩下的必須全部選擇。
算法用尺取法，雙指針移動。理論上的複雜度是O(M*(N-M))，極端情況是M=N/2，整體達到(N^2)/2。如果輸入數據爲：
100000 50000
100000 99999 ...
實測運行時間爲：10秒以上
參考代碼
if __name__ == '__main__':
(N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')]
pos_max, pos_1, pos_2 = 0, 0, N - M
while pos_1 < pos_2 < N:
while pos_1 < pos_2 < N:
pos_1 += 1
pos_max = pos_1 if data[pos_1] > data[pos_max] else pos_max
print(data[pos_max], end=' ')
pos_1, pos_2, pos_max = pos_max + 1, pos_2 + 1, pos_max + 1
while pos_2 != N:
print(data[pos_2], end=' ')
pos_2 += 1
print()
優化：區間最值查詢 O(NlogN)
while (pos_1 < pos_2)
if (games[++pos_1] > games[pos_max])pos_max = pos_1;
這一段代碼是區間內查詢最大值，反覆多次，且數據是靜態的，所以選擇ST做RMQ。
f[i][j]表示以 i 爲起點，連續 2^j 個數中的最大值（的下標）；
轉移方程就是：f[i][j] = data[f[i][j-1]] >= data[f[i+pow_2(j-1)][j-1]]?f[i][j-1]:f[i+pow_2(j-1)][j-1]; 注：比較原始數據，記錄下標
由於預處理是O(nlogn)，M次查詢是O(M)，每次查詢是O(1)，所以整體複雜度爲O(nlogn)。
下列代碼實測運行時間100ms以內
參考代碼
MAX_N = 100010
MAX_POW = 20
N, M = 0, 0
st = [[0] * MAX_POW for _ in range(MAX_N)]
log = [0 for _ in range(MAX_N)]
def initLog():
log[1] = 0
for i in range(2, N + 1):
log[i] = log[i // 2] + 1
def pow_2(x):
return 1 << x
# NlogN
def initSt(data):
for i in range(N):
st[i][0] = i
for j in range(1, log[N]):
for i in range(N - pow_2(j - 1)):
index1, index2 = st[i][j - 1], st[i + pow_2(j - 1)][j - 1]
st[i][j] = index1 if data[index1] >= data[index2] else index2
def query(data, l, r):
len = r - l + 1
k = log[len]
index1, index2 = st[l][k], st[r - pow_2(k) + 1][k]
return index1 if data[index1] >= data[index2] else index2
if __name__ == '__main__':
(N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')]
initLog()
initSt(data)
pos_max, pos_1, pos_2 = 0, 0, N - M
while pos_1 < pos_2 < N:
pos_max = query(data, pos_1, pos_2) #logN
print(data[pos_max], end=' ')
pos_1, pos_2 = pos_max + 1, pos_2 + 1
while pos_2 != N:
print(data[pos_2], end=' ')
pos_2 += 1
print()