1. 什麼是RSA
RSA算法是現今使用最廣泛的公鑰密碼算法,也是號稱地球上最安全的加密算法。在瞭解RSA算法之前,先熟悉下幾個術語
根據密鑰的使用方法,可以將密碼分爲對稱密碼和公鑰密碼
對稱密碼:加密和解密使用同一種密鑰的方式
公鑰密碼:加密和解密使用不同的密碼的方式,因此公鑰密碼通常也稱爲非對稱密碼。
2. RSA加密
RSA的加密過程可以使用一個通式來表達
也就是說RSA加密是對明文的E次方後除以N後求餘數的過程。就這麼簡單?對,就是這麼簡單。
從通式可知,只要知道E和N任何人都可以進行RSA加密了,所以說E、N是RSA加密的密鑰,也就是說E和N的組合就是公鑰,我們用(E,N)來表示公鑰
不過E和N不併不是隨便什麼數都可以的,它們都是經過嚴格的數學計算得出的,關於E和N擁有什麼樣的要求及其特性後面會講到。順便囉嗦一句E是加密(Encryption)的首字母,N是數字(Number)的首字母
3. RSA解密
RSA的解密同樣可以使用一個通式來表達
也就是說對密文進行D次方後除以N的餘數就是明文,這就是RSA解密過程。知道D和N就能進行解密密文了,所以D和N的組合就是私鑰
從上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的,加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N”
此處D是解密(Decryption)的首字母;N是數字(Number)的首字母。
小結下
公鑰 | (E,N) |
私鑰 | (D,N) |
密鑰對 | (E,D,N) |
此處D是解密(Decryption)的首字母;N是數字(Number)的首字母。
4. 生成密鑰對
既然公鑰是(E,N),私鑰是(D,N)所以密鑰對即爲(E,D,N)但密鑰對是怎樣生成的?步驟如下:
- 求N
- 求L(L爲中間過程的中間數)
- 求E
- 求D
4.1 求N
準備兩個質數p,q。這兩個數不能太小,太小則會容易破解,將p乘以q就是N
N = p * q
4.2 求L
L 是 p-1 和 q-1的最小公倍數,可用如下表達式表示
L=lcm(p-1,q-1)
4.3 求E
E必須滿足兩個條件:E是一個比1大比L小的數,E和L的最大公約數爲1
用gcd(X,Y)來表示X,Y的最大公約數則E條件如下:
1 < E < L
gcd(E,L)=1
之所以需要E和L的最大公約數爲1是爲了保證一定存在解密時需要使用的數D。現在我們已經求出了E和N也就是說我們已經生成了密鑰對中的公鑰了。
4.4 求D
數D是由數E計算出來的。D、E和L之間必須滿足以下關係:
1 < D < L
E*D mod L = 1
只要D滿足上述2個條件,則通過E和N進行加密的密文就可以用D和N進行解密。
簡單地說條件2是爲了保證密文解密後的數據就是明文。
現在私鑰自然也已經生成了,密鑰對也就自然生成了。
小結下:
求N | N= p * q ;p,q爲質數 |
求L | L=lcm(p-1,q-1) ;L爲p-1、q-1的最小公倍數 |
求E | 1 < E < L,gcd(E,L)=1;E,L最大公約數爲1(E和L互質) |
求D | 1 < D < L,E*D mod L = 1 |
5 實踐下吧
我們用具體的數字來實踐下RSA的密鑰對對生成,及其加解密對全過程。爲方便我們使用較小數字來模擬。
5.1 求N
我們準備兩個很小對質數,
p = 17
q = 19
N = p * q = 323
5.2 求L
L = lcm(p-1, q-1)= lcm(16,18) = 144
144爲16和18對最小公倍數
5.3 求E
求E必須要滿足2個條件:1 < E < L ,gcd(E,L)=1
即1 < E < 144,gcd(E,144) = 1
E和144互爲質數,5顯然滿足上述2個條件
故E = 5
此時公鑰=(E,N)= (5,323)
5.4 求D
求D也必須滿足2個條件:1 < D < L,E*D mod L = 1
即1 < D < 144,5 * D mod 144 = 1
顯然當D= 29 時滿足上述兩個條件
1 < 29 < 144
5*29 mod 144 = 145 mod 144 = 1
此時私鑰=(D,N)=(29,323)
5.5 加密
準備的明文必須時小於N的數,因爲加密或者解密都要mod N其結果必須小於N
假設明文 = 123
則 密文=明文^E mod N=123^5%323=225
5.6 解密
則 明文=密文^D mod N=225^29%323=123
解密後的明文爲123。
參考鏈接:RSA算法原理-阮一峯
https://www.cnblogs.com/hiflora/archive/2013/07/04/3171775.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html