Matlab 邊緣檢測實現與比較

邊緣檢測包括三個基本內容：

• 抽取出反映灰度變化的邊緣點
• 剔除某些邊界點或填補邊界間斷點
• 將這些邊緣連接成完整的線

邊緣檢測算子

基於一階導數

梯度：
$G(x,y)= \begin{bmatrix} G_x\\ G_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$

可以用三種範數衡量梯度的幅值：
$|G(x,y)|=\sqrt {G_x^2+G_y^2}，2範數梯度$

$|G(x,y)|=|G_x|+|G_y|，1範數梯度$

$|G(x,y)|\approx max(|G_x|,|G_y|)，\infty範數梯度$

（1）Roberts交叉算子：利用局部差分算子尋找邊緣，兩個卷積核分別爲

$G_x=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}，G_y=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$

採用1範數衡量梯度的幅度，對具有陡峭的低噪聲圖像處理效果較好。

（2）Prewitt算子：卷積核：

$G_x=\begin{bmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\\-1&0&1\end{bmatrix}，G_y=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&0&0\\-1&-1&-1\end{bmatrix}$

採用第三個範數衡量梯度的幅度，對灰度漸變和噪聲較多的圖像效果較好。

（3）Sobel算子：卷積核：

$G_x=\begin{bmatrix}-1&0&1\\-2&0&2\\-1&0&1\end{bmatrix}，G_y=\begin{bmatrix}1&2&1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}$

採用第三個範數衡量梯度的幅度，對灰度漸變和噪聲較多的圖像效果較好。

（4）Canny算子：使用高斯濾波器的導數計算的，以尋找圖像梯度的局部極大值。使用兩個閾值分別來檢測強邊緣與弱邊緣，當且僅當強弱邊緣相連時，弱邊緣才包含在輸出中。因此該方法不易受噪聲干擾，但其檢測邊界連續性不如LOG算子。

Canny算法步驟如下：
① 用高斯濾波器平滑圖像；
② 計算濾波後圖像梯度的幅值和方向；
③ 對梯度幅值應用非極大值抑制，其過程爲找出圖像梯度中的局部極大值點，把其他非局部極大值點置零以得到細化的邊緣；
④ 用雙閾值算法檢測和連續邊緣，使用兩個閾值T1和T2（T1>T2），T1用來找到每條線段，T2用來在這些線段的兩個方向上延伸尋找邊緣的斷裂處，並連接這些邊緣。

（5）零交叉方法：先用指定濾波器對圖像濾波，然後尋找零交叉點作爲邊緣。

基於二階導數

圖像灰度二階導數的過零點對應邊緣點

（1）Laplacian算子

$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{ \partial^2f}{\partial y^2}$

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=[f(i,j+1)-2f(i,j)]+f(i,j-1)$

$\frac{ \partial^2f}{\partial y^2}=[f(i+1,j)-2f(i,j)]+f(i-1,j)$

表示爲卷積模板：

$\nabla^2=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}$

由於是二階導數，因此它對於噪聲有極高的敏感性，而且對雙邊緣帶不易檢測出邊緣的方向。

（2）LOG算子：先用高斯函數濾波，然後進行拉普拉斯運算，算得的值等於0的點認爲是邊界點。

LOG運算：

$h(x,y)=\nabla^2[g(x,y)]*f(x,y)$

根據卷積求導法則：

$h(x,y)=[\nabla^2g(x,y)]*f(x,y)$

其中，f爲圖像，g爲高斯函數，

$g(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]$

$\nabla^2g(x,y)=\left(\frac{x^2+y^2-2\sigma^2}{\sigma^4}\right)e^{-\dfrac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

$\frac{\partial^2 G(x,y)}{\partial x^2}=\frac{1}{2\pi\sigma^4}exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]\left(\frac{x^2}{\sigma^2}-1\right)$

$\frac{\partial^2 G(x,y)}{\partial y^2}=\frac{1}{2\pi\sigma^4}exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]\left(\frac{y^2}{\sigma^2}-1\right)$

故：

$\nabla^2G(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^4}\left(\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}-2\right)exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right]$

用差分高斯函數（DOG）簡化代替LOG算子：

$DOG(\sigma_1,\sigma_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma_1^2}\right]-\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}exp\left[-\frac{x^2+y^2}{2\sigma_2^2}\right]$

差分高斯算子較好地符合人的視覺特性。根據二階導數性質，檢測邊界就是尋找▽^2*f的過零點。有兩種等效計算方法：
①圖像與高斯函數卷積，再求卷積的Laplace微分；
②求高斯函數的Laplace微分，再與圖像卷積。

LOG算子能有效檢測邊界，但存在兩個問題：
①會產生虛假邊界；
②定位精度不高。

實際中，應考慮：σ的選擇，模板尺寸N的確定，邊界強度和方向，提取邊界的精度。

Matlab實現

BW=edge(I,'method',thresh,direction)

採用method的方法進行邊緣檢測，指定閾值thresh，可指定算子的方向direction=‘horizontal’、‘vertical’、‘both’。各詳細參數含義參見Matlab官方頁面。

算子比較

（1）Roberts算子

邊緣定位精度較高，但容易丟失一部分邊緣，同時圖像未經平滑處理，不能抑制噪聲。對具有陡峭邊緣且噪聲低的圖像處理效果較好。

（2）Prewitt和Sobel算子

都是對圖像先做加權平滑處理，然後再微分，所撥通的是平滑部分的權值有差異，因此對噪聲具有抑制作用，但不能完全排除檢測結果中出現的徐家邊緣。邊緣定位效果不錯，但是檢測的邊緣易出現多像素寬度。

（3）Laplacian算子

是不依賴於邊緣方向的二階微分算子，對圖像中的階躍型邊緣點定位準確，對噪聲非常敏感，使噪聲成分得到加強。因此使得該算子易丟失一部分邊緣的方向信息，造成一些不連續的檢測邊緣，抗噪能力差。

（4）LOG算子

克服了Laplacian算子抗噪能力差的缺點，但在抑制噪聲的同時也將原有的尖銳邊緣平滑化了，造成尖銳邊緣無法被檢測出。

（5）Canny算子

雖然是基於最優化思想而推導出來的，但是實際效果並不一定最優。同樣採用高斯函數對圖像平滑化，因此具有較強的抑制噪聲能力，但也會將高頻邊緣平滑掉，造成邊緣丟失。Canny算子採用雙閾值算法檢測和連接邊緣，採用的多尺度檢測和方向性搜索比LOG算子好。

Reference
張德豐 數字圖像處理（MATLAB版）第二版 2015年