Otsu算法理解

Otsu算法理解

$L: 灰度級(0\sim255爲256個灰度級)$
$n_i: 表示灰度級爲i的像素個數$
$MN:圖像的像素$，即
$\begin{aligned} MN&=n_0+n_1+n_2+...+n_{L-1} \\ &=high*wide \end{aligned}$
則當直方圖歸一化後有分量$p_i=n_i/MN$即每個灰度級在全圖中所佔的比重，則有
$\sum_{i=0}^{L-1}p_i = 1,\quad p_i\geq 0 \tag{1}$
然後我們假設我們有一個閾值$T(k) = k,0<k<L-1$，將直方圖分爲$C_1$，$C_2$兩個部分,則某一像素在$C_1$中的概率$P_1(k)$如下
$P_1(k)=\sum_{i=0}^{k}{p_i}\tag{2}$
同樣的在$C_2$中的概率$P_2(k)$爲
$P_2(k)=\sum_{i=k+1}^{L-1}{p_i}=1-P_1(k)\tag{3}$
此時分別計算$C_1$區和$C_2$區的平均灰度值$m_1$、$m_2$
$\begin{aligned} m_1(k)&=\sum_{i=0}^{k}iP(i/C_1) \\ &=\sum_{i=0}^{k}iP(C_1/i)P(i)/P(C_1) \tag{4} \\ &=\frac{1}{P_1(k)}\sum_{i=0}^{k}{ip_i} \end{aligned}$
其中，$P_1(k)$由式$(1)$給出。第一行中的$P(i/C_1)$是值$i$在$C_1$中的概率，則通過貝葉斯公式
$P(i/C_1) = P(C_1/i)P(i)/P(C_1)$
已知$i$在$C_1$內，所以$P(C_1/i)=1$，由$(2)$知$P_1(k)=P(C_1)$。則$m_1(k)=\frac{1}{P_1(k)}\sum_{i=0}^{k}{ip_i}$
同理可得$C_2$中的$m2$
$\begin{aligned} m_2(k) &= \sum_{i=k+1}^{L-1}{iP(i/C_2)} \\ &=\frac{1}{P_2(k)}{\sum_{i=k+1}^{L-1}{ip_i}} \tag{5} \end{aligned}$
到k的累加均值則爲
$m(k)=\sum_{i=0}^{k}{ip_i}\tag{6}$
全局均值，即整張圖像的平均灰度
$m_G = \sum_{i=0}^{L-1}{ip_i}\tag{7}$
則得到
${P_1}{m_1}+{P_2}{m_2}={m_G}\tag{8}$
和
${P_1}+{P_2}={1}\tag{9}$
那麼接下來該如何說明這個閾值$k$的效果呢，我們使用了歸一化的無量綱矩陣(我也不知道這個名詞是啥意思，但是看下去，你能懂它的內容)：
$\eta = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_G^2}\tag{10}$
其中，$\sigma_G^2$是全局方差[即圖像中所有像素的灰度方差，就是每個像素和均值對比]：
${\sigma_G^2}=\sum_{i=0}^{L-1}{(i-mG)^2}{p_i}\tag{11}$
$\sigma_B^2$是類間方差，定義爲
$\sigma_B^2 = {P_1(m_1-m_G)^2}+{P_2(m_2-m_G)^2}\tag{12}$
將$(8)$和$(9)$代入該表達式$(12)$，接着再將$(3)$和$(7)$代入，可寫爲：
$\begin{aligned} {\sigma_B^2} &= {P_1}{P_2}{(m_1-m_2)^2} \\ &=\frac{({m_G}{P_1}-m)^2}{P_1({1-P_1})}\tag{13} \end{aligned}$
從上面的表達式中我們可以看出$m_1$和$m_2$彼此隔得越遠，$\sigma_B^2$越大，這表明類間方差是類之間的可分性度量[就是看兩個類之間差的多不多]，
然後通過$(11)$我們知道$\sigma_G^2$在一張圖中是固定的，即爲一個常數，若我們想要質量$\eta$好的話就要最大化$\sigma_B^2$，即在閾值集合$k$中找到一個$k^*$使得
$\sigma_B^2(k^*)=\max\limits_{0\leq{k}\leq{L-1}}{\sigma_B^2}(k) \tag{14}$
找到$k^*$後便可對圖像進行分割：
$g(x,y)= \begin{cases} &1,\quad f(x,y)>k^*\\ &0,\quad f(x,y)\leq k^* \end{cases}\tag{15}$