一、正則表達式
正則表達式是一種用來描述正則語言的更緊湊的表示方法。正則表達式可以由較小的正則表達式按照特定的規則遞歸地構建。每個正則表達式r定義（表示）一個語言，記爲L(r)。這個語言也是根據r的子表達式所表示的語言遞歸定義的。
例如：語言L={a}{a,b}* ({ε}∪({.,_}{a,b}{a,b}* ))的正則表達式如下：
r=a(a|b)*(ε|(.|_)(a|b)(a|b)*)
1.正則表達式的定義
ε是一個RE，L(ε)={ε};
a∈∑，則a是一個RE，L(a)={a}；
假設r和s都是RE，表示的語言分別是L(r)和L(s)，則
r|s是一個RE，L(r|s)=L(r)∪L(s)
rs是一個RE，L(rs)=L(r)L(s)
r*是一個RE，L(r*)=(L(r))*
(r)是一個RE，L((r))
運算符的優先級 ：*、連接、| 。
例如：令∑={a,b}，則
L(a|b)=L(a)
L((a|b)(a|b))=L(a|b)L(a|b)={a,b}{a,b}={aa,ab,ba,bb}
L(a*)=(L(a))*={a}*={ε,a,aa,aaa,···}
L((a|b)*)=(L(a|b))*={a,b}*={ε,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,···}
L(a|a*b)={a,b,ab,aab,aaab,···}
2.正則語言
可以用RE定義的語言叫做正則語言或者正則集合。
3.正則文法與正則表達式
對任何正則文法G，存在定義同一語言的正則表達式r，對任何正則表達式r，存在定義同一語言的正則文法G。
4.正則定義
例1：C語言中標識符的正則定義
digit→ 0|1|2|···|9
letter_ → A|B|···|Z|a|b|···|z|_
id→ letter_(letter_|digit*)
例2：（整數或浮點數）無符號數的正則定義
digit→ 0|1|2|···|9
digits→ digit digit*
optionalFraction → .digits| ε
optionalExponent → (E(+|-|ε )digits)|ε
number → digits optionalExponent optionalFraction
2 2.15 2.15E+3 2.15E-3 2.15E3 2E-3
二、確定的有限自動機
唯一的初始狀態，轉換函數是單值部分映射。
三、非確定的有限自動機
轉換函數對某個輸入，可以達到多個狀態。
四、從正則表達式到有限自動機
正規文法<=>有限自動機<=>正規式 只要他們接受的語言相同，則他們等價。
1.RE轉換NFA
2.NFA轉換DFA（確定化）
子集構造法：NFA轉換DFA的方法(狀態轉換矩陣)
三個重要運算：
狀態集的ε-閉包：狀態集I中的任何狀態s及經任意條ε弧而能到達的所有狀態的集合，定義爲狀態集I的ε-閉包，表示爲ε-closure(I)。
狀態集的a弧轉換：狀態集I中的任何狀態s經過一條a弧而能到達的所有狀態的集合，定義爲狀態集I的a弧轉換，表示爲move(I, a)。對於任意 NFA M=(K，Σ，f，S，F)，
I包含於K，a∈Σ，不妨設I={s1,s2,…sj }，則move(I,a)=f(s1,a)∪f(s2,a) ∪…∪f(sj,a)。
狀態集的a弧轉換的閉包：Ia=ε-closure(move(I,a))
例題：下圖所示NFA，轉換爲DFA。
解析：
對於I={0}，ε-closure(I)=ε-closure({0})={0,1,2,4,7}，
若I={2,3}，ε-closure(I)=ε-closure({2,3})={1,2,3,4,6,7}，
令I ={0,1,2,4,7}，則move(I,a)={3,8}，move(I,b)={5}，
Ia=ε-closure(move(I,a))=ε-closure({3,8})={1,2,3,4,6,7,8}
Ib=ε-closure(move(I,b))=ε-closure({5})={1,2,4,5,6,7}
3.DFA的最小化
對於任意一個DFA M構造另一個DFA M' ，使L(M)=L(M')，並且M'的狀態個數不多於M的狀態個數。
多餘狀態：對於一個狀態Si ，若從開始狀態出發，不可能到達該狀態Si，則Si爲多餘（無用）狀態。 S1，S5，S6爲多餘狀態。
死狀態：對於一個狀態Si，對任意輸入符號a，若轉到它本身後，不可能從它到達終止狀態，則稱爲Si爲死狀態。S2爲死狀態。多餘狀態和死狀態又稱爲無關狀態。
等價狀態：若Si爲自動機的一個狀態，我們把從Si出發能導出的所有符號串集合記爲L(Si)。設有兩個狀態Si和Sj，若有L(Si)=L(Sj)，則稱Si和Sj是等價狀態。S1和S2是等價狀態。
可區別狀態：自動機中的兩個狀態Si和Sj，如果它們不等價，則稱它們是可區別的。狀態Si和Sj 必須同時是終止狀態或同時是非終止狀態，即終止狀態和非終止狀態是可區別的；狀態Si和Sj對於任意輸入符號a∈∑，必須轉到等價的狀態裏，否則Si和Sj是可區別的。S0、S1、S2和S3是可區別的，S0和S2是可區別的。
DFA的最簡化(最小化)的步驟：對於DFA M=(S,Σ,f,S0,Z)
1.首先將DFA的狀態集進行初始化，分成π=(S-Z,Z); //非終態、終態
2.用下面的過程對Π構造新的劃分π new：
對Π中每個組G，G中的任意兩個狀態Si和Sj在同一組中，當且僅當對於Σ中任意輸入符號 a ，Si和Sj的a轉換是到同一組中，move(Si, a) ∈Gi ,move(Sj, a) ∈Gi。只要Si和Sj的a轉換是到不同的組中，則說明Si和Sj是可區別的，可進行劃分。
在Π new中用剛完成的對G的劃分代替原來的G。
3.重複執行(2),直到Π中每個狀態集不能再劃分 （π new=π)爲止;
4.合併等價狀態,在每個G中,取任意狀態作爲代表,刪去其它狀態;
5.刪去無關狀態,從其它狀態到無關狀態的轉換都成爲無定義。
例題：將DFA最小化
解析：
第一步：首次劃分，Π0=({A,B,C,D},{E})；
第二步：在G={A,B,C,D}中，f(A,a)=B，f(B,a)=B，f(C,a)=B，f(D,a)=B，f(A,b)=C，f(B,b)=D，f(C,b)=C，f(D,b)=E(終態)，故可以劃分爲{A,B,C}和{D}，Π1=({A,B,C},{D},{E})；
第三步：在G={A,B,C}中，f(A,a)=B，f(B,a)=B，f(C,a)=B，f(A,b)=C，f(B,b)=D，f(C,b)=C，故{A,B,C}可劃分爲{A,C}和{B}，Π2=({A,C},{B},{D},{E})；
第四步：在G={A,C}中，不可再分，則將A、C作爲一個狀態。
刪去C，再將原來導入C的弧導入它的代表狀態A。
補充內容：
逆波蘭式（Reverse Polish notation，RPN，或逆波蘭記法），也叫後綴表達式（將運算符寫在操作數之後）
(a+b)*c-(a+b)/e →((a+b)*c)((a+b)/e)- →((a+b)c*)((a+b)e/)- →(ab+c*)(ab+e/)- →ab+c*ab+e/-
算法表示：
將一個普通的中序表達式轉換爲逆波蘭表達式的一般算法是：
首先需要分配2個棧，一個作爲臨時存儲運算符的棧S1（含一個結束符號），一個作爲輸入逆波蘭式的棧S2（空棧），S1棧可先放入優先級最低的運算符#，注意，中綴式應以此最低優先級的運算符結束。可指定其他字符，不一定非#不可。從中綴式的左端開始取字符，逐序進行如下步驟：
（1）若取出的字符是操作數，則分析出完整的運算數，該操作數直接送入S2棧
（2）若取出的字符是運算符，則將該運算符與S1棧棧頂元素比較，如果該運算符優先級(不包括括號運算符)大於S1棧棧頂運算符優先級，則將該運算符進S1棧，否則，將S1棧的棧頂運算符彈出，送入S2棧中，直至S1棧棧頂運算符低於（不包括等於）該運算符優先級，最後將該運算符送入S1棧。
（3）若取出的字符是“（”，則直接送入S1棧頂。
（4）若取出的字符是“）”，則將距離S1棧棧頂最近的“（”之間的運算符，逐個出棧，依次送入S2棧，此時拋棄“（”。
（5）重複上面的1~4步，直至處理完所有的輸入字符
（6）若取出的字符是“#”，則將S1棧內所有運算符（不包括“#”），逐個出棧，依次送入S2棧。
完成以上步驟，S2棧便爲逆波蘭式輸出結果。不過S2應做一下逆序處理。便可以按照逆波蘭式的計算方法計算了！